10. Hilbertsches Problem: Gleichungssystem lösen

29.06.2012, 22:57

KarlW

10. Hilbertsches Problem: Gleichungssystem lösen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich lese gerade etwas über Nicht-Berechenbarkeit und bin in diesem Zusammenhang über das 10. Hilbert'sche Problem gestolpert.
Als Beispiel für das Problem wurde folgendes diophantisches(!) Gleichungssystem genannt (sorry es enthält u und v, was leicht verwechselt werden kann und unglücklich gewählt ist, ich wollte es aber nicht umändern, weil sich sonst womöglich noch Übertragungsfehler eingeschlichen hätten):

I $\begin{eqnarray*} x^{3} + 5y - 7z = uv^{2} \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} u + v - y^{4} = z^{3} + 4 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} (x - y)^{2} - u = v - 1 \end{eqnarray*}$

Es wurde auch geschrieben, dass es eben kein allgemeines Verfahren gibt, um die Lösbarkeit dieses Gleichungssystems beweisen zu können.

Ich habe nun versucht dieses Gleichungssystem händisch durch Substitutionsverfahren zu lösen, doch ich komme da einfach nicht weiter weil ich mich ab einer bestimmten Stelle beim Einsetzen immer wieder im Kreis drehe.

Meine Ideen:
Folgendes habe ich probiert:

I $\begin{eqnarray*} x^{3} + 5y - 7z = u * v^{2} \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} u + v - y^{4} = z^{3} + 4 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} (x-y)^{2} - u = v - 1 \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} u = sqrt(x^{3}+5y-7z/v^{2}) \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} v = x^{2} + y^{2} - 2xy + 1 - u \end{eqnarray*}$
I $\begin{eqnarray*} x = srqt3(u * v^{2} -5y + 7z) \end{eqnarray*}$
I $\begin{eqnarray*} y = (u * v^{2} -x^{3} + 7z) / 5 \end{eqnarray*}$
I $\begin{eqnarray*} z = (u *v^{2} - x^{3} - 5y) / 7 \end{eqnarray*}$

Die im Buch angegebene Lösung lautet: u=4, v=1, x=-1, y=1, z=0 das Gleichung ist also lösbar.
Die Frage ist nur, ob es durch umstellen lösbar ist, aber ob man nur durchprobieren kann.
Kann es sein, dass es gar nicht lösbar ist, und man das daran erkennt, dass ich 3 Formeln aber 4 Unbekannte habe?

29.06.2012, 23:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von KarlW
Die im Buch angegebene Lösung lautet: u=4, v=1, x=-1, y=1, z=0 das Gleichung ist also lösbar.

So ist es, die Probe durch Einsetzen bestätigt es. Insofern verstehe ich nicht, wie du das zwei Sätze später schon wieder vergessen kannst:

Zitat:

Original von KarlW
Kann es sein, dass es gar nicht lösbar ist

Zitat:

Original von KarlW
Kann es sein, dass es gar nicht lösbar ist, und man das daran erkennt, dass ich 3 Formeln aber 4 Unbekannte habe?

Das eine hat mit dem anderen nicht notwendig was zu tun: Mit

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + (y-2)^4 + (z-3)^8 = 0 \end{eqnarray*}$

hat man eine Gleichung und drei Unbekannte, aber trotzdem eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} x=1,y=2,z=3 \end{eqnarray*}$ .

29.06.2012, 23:17

KarlW

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Zitat:

Zitat:
Original von KarlW
Die im Buch angegebene Lösung lautet: u=4, v=1, x=-1, y=1, z=0 das Gleichung ist also lösbar.

So ist es, die Probe durch Einsetzen bestätigt es. Insofern verstehe ich nicht, wie du das zwei Sätze später schon wieder vergessen kannst:

Zitat:
Original von KarlW
Kann es sein, dass es gar nicht lösbar ist

Hmm schlecht ausgedrückt, ich wollte damit fragen, ob man das Problem nur durch Ausprobieren lösen kann, oder auch durch Umstellen und Einsetzen.

29.06.2012, 23:21

Bernhard1

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Nachdem man hier drei Gleichungen mit fünf Unbekannten hat, kann man zwei Variablen als freie Parameter betrachten (z.B. u und v) und in Abhängigkeit von diesen Parametern die Lösungen bestimmen. In dem vorgegebenen Fall sind das dann Nullstellen von Polynomen.

29.06.2012, 23:28

Dopap

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ich meine,wenn 5 Variable in 3 Gleichungen vorliegen, sagt das per se gar nichts über die Lösungsmenge aus. Jedenfalls nicht in einem LGS.

In einem NLGS könnte es allerdings anderst aussehen. Kenne aber kein Kriterium.

30.06.2012, 11:32

KarlW

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Guten Mittag,

vielen Dank für die vielen Antworten.
Das Prinzip mit den freien Parametern habe ich (soweit ich mich erinnern kann) nie gelernt und kenne es leider nicht.
Wie würde man das System denn anwenden?

Auch zu der von HAL 9000 geposteten Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + (y-2)^4 + (z-3)^8 = 0 \end{eqnarray*}$

wüsste ich keine andere Lösung außer zu probieren.

Viele Grüße

Karl

30.06.2012, 12:04

Bernhard1

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Zitat:

Original von KarlW
Wie würde man das System denn anwenden?

Hallo Karl,

man betrachtet dabei u und v als Platzhalter für Zahlen. Anders ausgedrückt man löst die drei Gleichungen für die drei Unbekannten x,y,z und behandelt u und v wie normale reelle oder auch komplexe Zahlen. Man sollte dabei dann auf drei Polynomfunktionen in x,y und z kommen und kann dann nachsehen, ob die exakt oder numerisch lösbar sind. Daran, dass die Polynomfunktionen dann noch die Parameter u und v enthalten können darf man sich nicht stören.

Im Detail würde ich zuerst I nach z auflösen. Man erhält dabei die Gleichung I'

$\begin{eqnarray*} z = 1/7(x^3+5y-uv^2) \end{eqnarray*}$

III kann man nach x oder y auflösen und erhält entsprechend IIIa oder IIIb.

I' und (IIIa oder IIIb) kann man dann in II einsetzen und erhält damit entweder f1(x,u,v)=0 oder f2(y,u,v)=0. Wie gut oder schlecht diese zwei Gleichungen dann zu lösen sind, weiß ich momentan aber auch nicht auswendig. Es ist auch nur ein Vorschlag.

30.06.2012, 13:22

Bernhard1

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Zitat:

Original von KarlW
Wie würde man das System denn anwenden?

Um die vorgeschlagenen Vorgehensweise zu verdeutlichen kann man sich auch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray*}$

ansehen. Hier sind die Lösungen sofort klar und das auch in Abhängigkeit von dem Parameter r. Die drei Gleichungen oben beschreiben "nur" eine etwas allgemeinere Lösung, womit der Lehrstoff aus der Schule aber bereits recht deutlich überschritten wird Augenzwinkern

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