Annihilator und Dualraum

30.06.2012, 10:23	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Annihilator und Dualraum Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Banachraum und $\begin{eqnarray} X^ \end{eqnarray}$ der stetige Dualraum, also der Raum aller stetigen, linearen Funktionale $\begin{eqnarray} f: X\to\mathbb R \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , und sei $\begin{eqnarray} V\subset X^* \end{eqnarray}$ ein Unterraum. Man definiert den Annihilator $\begin{eqnarray} V_{\bot}:=\{u\in X\,\,:\,\, f(u)=0\text{ für alle }f\in V\} \end{eqnarray}$ [das ist ein Unterraum von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ]. Nun habe ich gezeigt, dass im Falle dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein reflexiver Raum ist, aus $\begin{eqnarray} V_{\bot}=\{0\} \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} V=X^* \end{eqnarray}$ folgt. Weiss jemand ob bzw. wie man das beweisen kann, falls $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ nicht reflexiv ist?
10.07.2012, 15:10	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich weiss nicht, ob die Frage noch offen steht: Falls ja, betrachte $\begin{eqnarray} X = \ell^1 = \ell^1(\mathbb N), \; V = c_0 \subset \left(\ell^1\right)^\ast \end{eqnarray}$ . Ist für ein $\begin{eqnarray} u \in \ell^1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \langle f, u\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f \in c_0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} u = 0 \end{eqnarray}$ , denn alle Einheitsvektoren liegen in $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ . Folglich haben wir $\begin{eqnarray} V_\perp = 0 \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ ist nicht der Dualraum von $\begin{eqnarray} \ell^1 \end{eqnarray}$ . Grüsse

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