Komplexe Zahlen2

30.06.2012, 11:50

--Gast--

Komplexe Zahlen2

Hallo,

Sorry, aber ich weiß nicht was ich hier machen muss (deshalb auch keine Idee):

Aufgabe:

Ich soll die n-ten Wurzeln der folgenden komplexen Zahlen angeben und diese in der Gaußschen Zahlenebene darstellen:

$\begin{eqnarray*} z=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 12:20

HilfloserStudent

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Ich nehme an, Du sollst die Lösungen der Gleichung x^4 +6 =0 finden, und dafür die n-te Einheitswurzel benutzen. Für die 4. Einheitswurzel ist ja bekannt, dass sie x^4 -1=0[/latex] löst und somit 1, -1 , i oder -i ist. Man muss dann noch überlegen, welche Rolle die +6 anstelle der -1 beim Wurzelziehen spielt, wenn Du weißt, was ich meine.
Wäre nur so eine Idee...

Sorry... habe mich noch nicht mit Latex beschäftigt....

30.06.2012, 14:52

--Gast--

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Ich bekomme nicht die richtige Lösung herraus unglücklich

Brauche nochmal Hilfe.

$\begin{eqnarray*} z^4=-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{6} *[cos(90)+i*sin(%)] =1,565i \end{eqnarray*}$

Im Ergebnis steht aber:

$\begin{eqnarray*} z_0=1,1+1,1i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=-1,1+1,1i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=-1,1-1,1i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3=1,1-1,1i \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 15:42

zyko

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Hallo
Stelle -6 in Polarkoordinaten dar:
$\begin{eqnarray*} -6 = 6 e^{i(\pi +2k\pi) } \end{eqnarray*}$ .
Für den Ausdruck auf der rechten Seite können jetzt die gesuchten Wurzeln mit den bekannten Potenzregeln berechnet werden.

30.06.2012, 20:37

--Gast--

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Funktioniert immer noch nicht unglücklich

$\begin{eqnarray*} -6 = 6 e^{i(\pi +2k\pi) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0= 6 e^{i(\pi +2*0\pi) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0= 6 e^{i\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0= 6 *[cos(\pi)+i*sin(\pi)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0= 6 *[cos(\pi)+i*sin(\pi)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0= -6 \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 20:40

Helferlein

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Das könnte daran liegen, dass du von $\begin{eqnarray*} z_0=-6 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (z_0)^4=-6 \end{eqnarray*}$ ausgehst. Augenzwinkern

30.06.2012, 21:21

--Gast--

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Versteh leider nicht was du meinst.

Ich habe das jetzt mehr oder weniger nach Anleitung gemacht + Tipp von zyko wobei ich auch nicht verstehe wo das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ herkommt.

youtube.com/watch?v=MWYykD9uhtk

Stehe voll auf dem Schlau :S

30.06.2012, 22:58

original

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Zitat:

Original von --Gast--

wobei ich auch nicht verstehe wo das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ herkommt.

also vielleicht nochmal zurück zum Start.
gesucht sind die vier Lösungen von

$\begin{eqnarray*} z^4=-6 \end{eqnarray*}$

dazu wirst du zuerst die gegebene Zahl -6 in Polarform darstellen
dabei kannst du problemlos auch den Winkel im Gradmass notieren

also: zum Punkt (-6/0) der Gaussebene gehört der Betrag 6 und der Winkel 180°
(Winkel werden immer von der positiven reellen Achse (->0°) aus gegen den UZS gemessen)

->
$\begin{eqnarray*} z^4= 6\cdot \left(cos (180°+ k*360°) + i\cdot sin(180°+ k*360°)\right) \end{eqnarray*}$

und damit gilt für k aus Z ->

$\begin{eqnarray*} z_{k} = \sqrt[4]{6} \cdot \left((cos (45°+ k*90°) + i\cdot sin(45°+ k*90°)\right) \end{eqnarray*}$

.. vier verschiedene Lösungen bekommst du dann zB für k=0 ; 1; 2; 3

Beispiel k=0 ->

$\begin{eqnarray*} z_{0} = \sqrt[4]{6} \cdot \left((cos (45°) + i\cdot sin(45°)\right) = \sqrt[4]{6}\cdot \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \left[1+i\right] <br /> \end{eqnarray*}$

schreib jetzt selbst noch
z1 , z2 und z3 auf ->... smile

30.06.2012, 23:23

--Gast--

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Danke

Ich glaube ich habs smile

$\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1=\sqrt[4]{6} *[cos(\frac{\pi}{4}+1*\frac{2\pi}{4})+i*sin(\frac{\pi}{4}+1*\frac{2\pi}{4})]=-1,11+1,11i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=\sqrt[4]{6} *[cos(\frac{\pi}{4}+2*\frac{2\pi}{4})+i*sin(\frac{\pi}{4}+2*\frac{2\pi}{4})]=-1,11-1,11i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3=\sqrt[4]{6} *[cos(\frac{\pi}{4}+3*\frac{2\pi}{4})+i*sin(\frac{\pi}{4}+3*\frac{2\pi}{4})]=1,11-1,11i \end{eqnarray*}$

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