Orthogonalität der Legendre-Polynome

30.06.2012, 15:01

Denniiis

Orthogonalität der Legendre-Polynome

Also:
Ich benötige einen Beweis der Orthognalität von Legendre Polynomen und muss diesen am besten noch nachvollziehen können. ;-) Vorbildung würde ich als Abiwissen bezeichen(vllt. bisschen mehr). Habe hier den Beweis von Tigerbine gefunden, allerdings stellen sich da bei mir jede Menge Fragenzeichen auf, weil ich in den anderen Vorlesungen dazu nichts gehört habe.

[WS] Orthogonale Polynome

Hier ist erstmal die Def. von den Legendre Polynomen(versteh ich noch Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} P_n(x):=\frac{1}{2^n~n!}\cdot \frac{d^n}{dx^n}~\Bigl( (x^2-1)^n \Bigr) \end{eqnarray*}$

Jetzt zitier ich mal tigerbine und schreibe meine Fragen dazu:

Betrachten wir das Skalarprodukt: Wie funktioniert das Skalarprodukt von Polynomen? kenne es nur beim multiplizieren von 2 Vektoren

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 \gamma(x)f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

So lautet mit der hier verwendeten Gewichtsfunktion ( $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ ) das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ Was heißt < >? Einfach nur kurz Fassung von $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ ??

Zum Nachweis von

$\begin{eqnarray*} <P_m,~P_n>=0 \quad \forall ~m \neq n \text{ mit o.B.d.A }m < n \end{eqnarray*}$

genügt es zu zeigen, dass Wieso genügt es zu zeigen, dass es = 0 ist?

$\begin{eqnarray*} <x^p,~P_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < n \end{eqnarray*}$ . Geht weil x^p, kleiner als das ganze Legendre Polynom ist?!

Dieses wiederum ist in der Behauptung

$\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < k \quad \forall ~k=1,...,n \end{eqnarray*}$

enthalten. Dabei ist wie im vorherigen Absatz wieso denn $\begin{eqnarray*} ~F^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ und nicht nur Latex]~F^{}_n [/Latex]

$\begin{eqnarray*} F_n(x):=(x^2-1)^n \end{eqnarray*}$

Beweis: Induktion nach k:

$\begin{eqnarray*} \text{IA: } k=1 \Rightarrow p = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <1,F^{(1)}_n> = \int_{-1}^{1}~[(x^2-1)^n]'~dx = [(x^2-1)^n]_{-1}^{1} = 0 \end{eqnarray*}$ Einfach k=1 und dementsprechend p=0 gesetzte und das ergibt dann 0. richtig?

$\begin{eqnarray*} \text{IB: Sei die Behauptung richtig für k-1} \end{eqnarray*}$

D.h. es gilt $\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k-1)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text{ mit } p < k-1 \end{eqnarray*}$ Wieso macht man jetzt die Induktion über k-1 und nicht über k+1?

$\begin{eqnarray*} \text{IS: } k-1 \to k,~p < k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <x^p, F_n^{(k)}> = \int_{-1}^{1}~x^p\cdot F_n^{(k)}(x)~dx && \stackrel{\mathrm{part. Int.}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}~p\cdot x^{p-1}\cdot F_n^{(k-1)}(x)~dx = \\ && =[x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} - p\cdot <x^{p-1},F_n^{(k-1)}> =\\&&\stackrel{\mathrm{IB}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} =\\&&\stackrel{\mathrm{Bem}}=0 \end{eqnarray*}$

Wieso ist

$\begin{eqnarray*} \\ && =[x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} - p\cdot <x^{p-1},F_n^{(k-1)}> =\\&&\stackrel{\mathrm{IB}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} =\\&&\stackrel{\mathrm{Bem}}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Bemerkung:Es ist $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad (2n), dass in x=-1 und x=1 jeweils eine n-fache Nullstelle besitzt. Somit gilt auch für die (k-1)-te Ableitung (wegen k-1 < n ):

$\begin{eqnarray*} F_n^{(k-1)}(-1)=0,~F_n^{(k-1)}(1)=0 \end{eqnarray*}$ Wieso braucht man die Bermerkung noch?

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte! smile

01.07.2012, 12:37

Math1986

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RE: Orthogonalität der Legendre-Polynome

Zitat:

Original von Denniiis
Betrachten wir das Skalarprodukt: Wie funktioniert das Skalarprodukt von Polynomen? kenne es nur beim multiplizieren von 2 Vektoren

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 \gamma(x)f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dieses Skalarprodukt funktioniert genauso, wie Tigerbine es hier definiert hat Augenzwinkern

Orthogonalität bezieht sich immer auf ein Skalarprodukt.

Zitat:

Original von Denniiis
So lautet mit der hier verwendeten Gewichtsfunktion ( $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ ) das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ Was heißt < >? Einfach nur kurz Fassung von $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ ??

<.,.> ist genau das Skalarprodukt, was in der vorherigen Gleichung definiert wurde, wobei $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Zitat:

Original von Denniiis
Zum Nachweis von

$\begin{eqnarray*} <P_m,~P_n>=0 \quad \forall ~m \neq n \text{ mit o.B.d.A }m < n \end{eqnarray*}$

genügt es zu zeigen, dass Wieso genügt es zu zeigen, dass es = 0 ist?

Genau das ist die Definition der Orthogonalität.

Zitat:

Original von Denniiis
$\begin{eqnarray*} <x^p,~P_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < n \end{eqnarray*}$ . Geht weil x^p, kleiner als das ganze Legendre Polynom ist?!

Es geht, weil die Monome links eine Basis des Polynomvektorraums bilden.

Zitat:

Original von Denniiis
Dieses wiederum ist in der Behauptung

$\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < k \quad \forall ~k=1,...,n \end{eqnarray*}$

enthalten. Dabei ist wie im vorherigen Absatz wieso denn $\begin{eqnarray*} ~F^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ und nicht nur $\begin{eqnarray*} ~F^{}_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_n(x):=(x^2-1)^n \end{eqnarray*}$

Es wurde definiert als

Zitat:

Betrachtet man nun die Funktion

$\begin{eqnarray*} F_n(x):=(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n\cdot 1 \end{eqnarray*}$

So ist in Bezug zum obigen Hilfssatz

$\begin{eqnarray*} a=-1, b=1 \text{ und } f(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p = 0 \end{eqnarray*}$

Für die k-te Ableitung der Funktion gilt dann:

$\begin{eqnarray*} F_n^{(k)}(x)=(x-1)^{n-k}(x+1)^{n-k}\cdot \varphi_k \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ in (-1,1) dann mindestens (p+k) = (0+k) Nullstellen hat. Damit ergibt sich, dass

$\begin{eqnarray*} F_n^{(n)} = (x-1)^{n-n}(x+1)^{n-n}\cdot \varphi_n = \varphi_n \end{eqnarray*}$

mindestens n Nullstellen in (-1,1) hat. Da aber $\begin{eqnarray*} F_n^{(n)} \end{eqnarray*}$ ein Polxnom vom Grad n (ungleich dem Nullpolynom) ist, hat es genau n Nullstellen in (-1,1).

Zitat:

Original von Denniiis
Beweis: Induktion nach k:

$\begin{eqnarray*} \text{IA: } k=1 \Rightarrow p = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <1,F^{(1)}_n> = \int_{-1}^{1}~[(x^2-1)^n]'~dx = [(x^2-1)^n]_{-1}^{1} = 0 \end{eqnarray*}$ Einfach k=1 und dementsprechend p=0 gesetzte und das ergibt dann 0. richtig?

Ja, rechne es nach. Das ist der Induktionsanfang.

Zitat:

Original von Denniiis
$\begin{eqnarray*} \text{IB: Sei die Behauptung richtig für k-1} \end{eqnarray*}$

D.h. es gilt $\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k-1)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text{ mit } p < k-1 \end{eqnarray*}$ Wieso macht man jetzt die Induktion über k-1 und nicht über k+1?

$\begin{eqnarray*} \text{IS: } k-1 \to k,~p < k \end{eqnarray*}$

Warum nicht? smile

Die Induktion geht eben von (k-1)->k, man könnte sie auch von k->(k+1) machen, das würde auf das selbe hinauslaufen.

Zitat:

Original von Denniiis
Wieso ist

$\begin{eqnarray*} \\ && =[x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} - p\cdot <x^{p-1},F_n^{(k-1)}> =\\&&\stackrel{\mathrm{IB}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} =\\&&\stackrel{\mathrm{Bem}}=0 \end{eqnarray*}$ ?

Nach Induktionsbeginn (IB) ist
$\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k-1)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text{ mit } p < k-1 \end{eqnarray*}$
Insbesondere also
$\begin{eqnarray*} <x^{p-1},~F^{(k-1)}_n>=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Denniiis
Bemerkung:Es ist $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad (2n), dass in x=-1 und x=1 jeweils eine n-fache Nullstelle besitzt. Somit gilt auch für die (k-1)-te Ableitung (wegen k-1 < n ):

$\begin{eqnarray*} F_n^{(k-1)}(-1)=0,~F_n^{(k-1)}(1)=0 \end{eqnarray*}$ Wieso braucht man die Bermerkung noch?

Das brauchst du, um in der obigen Gleichung $\begin{eqnarray*} [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^1 = 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

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