Bedingter Erwartungswert

30.06.2012, 15:04	Katze_91	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,Z) \end{eqnarray}$ ein Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichte $\begin{eqnarray} f(x,z) \end{eqnarray}$ . die bedingtte Dichte von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ gegeben $\begin{eqnarray} X=x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f_{Z\|X=x}(z)=\frac{f(x,z)}{f_X(x)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f_X(x)= \int_{\mathbb R}^{}f(x,z)dz\neq 0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine beschränkte Funktion und $\begin{eqnarray} h(x)= \int_{\mathbb R}^{}g(z)f_{Z\|X=x}(z)dz \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} E\left[g(Z)\| X\right]=h(X) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo, ich hab leider ein Problem mit dieser Aufgabe, mein größtes Problem hier ist wohl, dass ich keine wirkliche Defintion gefunden habe (im skript) für den bedingten Erwartungswert.... was ich bis jetzt habe ist folgendes: $\begin{eqnarray} E\left[g(Z)\|X\right]= \int_{\mathbb R}^{}{g(Z) dP_X} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} P_X \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, also eher $\begin{eqnarray} E\left[g(Z)\|X\right]= \int_{\mathbb R}^{}g(Z) dF_X \end{eqnarray}$ , dann der Tranformationssatz: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R}^{}{g(Z) dF_X}=\int_{\mathbb R}^{}{g(Z)\circ X dP} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, und hier komm ich nicht weiter, ich weiß nicht wie ich über ein wahrscheinlichkeitsmaß integrieren soll ich hab auch versucht mit $\begin{eqnarray} h(X) \end{eqnarray}$ anzufangen aber da komm ich auch nicht wirklich weiter... vielleicht kann mir jemand einen tipp geben LG Katze PS: ich habe diese Frage bereits in einem anderem Forum gepostet

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