Komposition partieller Funktionen (Wertemenge)

30.06.2012, 16:52

info_stud

Komposition partieller Funktionen (Wertemenge)

Komposition zweier partieller Funktionen.

Gegeben seien zwei partielle Funktionen $\begin{eqnarray*} f : A \rightsquigarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : B \rightsquigarrow C \end{eqnarray*}$ .

Der Definitionsbereich einer Komposition $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ lässt sich ja sehr einfach konstruieren: $\begin{eqnarray*} Def_{ g \circ f } = \{ x \in Def_f \mid f(x) \in Def_g \} \end{eqnarray*}$ .

Aber wie schreibt man sauber hin welche Bildmenge die Komposition hat?

Danke und Gruß!

01.07.2012, 14:48

mYthos

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Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist eine durch $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ eingeschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_g \end{eqnarray*}$ (nicht von D_f).

Die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller durch die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ erreichten Elemente und ihrerseits eine Teilmenge der Bildmenge von f.

Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ geschieht über den Weg $\begin{eqnarray*} D_g \ \to \ g(x) \ \to \ f(g(x)) \end{eqnarray*}$ .

mY+

03.07.2012, 13:33

info_stud

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Zitat:

Original von mYthos
Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist eine durch $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ eingeschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_g \end{eqnarray*}$ (nicht von D_f).

Also einerseits sehe ich den Fehler meiner Definition nicht, andererseits kann ich bei "durch $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ eingeschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_g \end{eqnarray*}$ " nicht folgen.

Zitat:

Die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller durch die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ erreichten Elemente und ihrerseits eine Teilmenge der Bildmenge von f.

Ja, das zielt auf meine eigentliche Frage, ist aber in einem größtenteils deutschen Satz formuliert. Für mich wäre die "mengentheoretische Schreibweise" interessant: $\begin{eqnarray*} Im_{g \circ f} = \ldots \end{eqnarray*}$ .

Danke dir jedenfalls!

03.07.2012, 14:55

info_stud

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Laut Wikipedia (wow!) ist die Definition von Komposition je nach Autor manchmal unterschiedlich, d.h. $\begin{eqnarray*} g \circ f = f(g(x)) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g \circ f = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist $\begin{eqnarray*} g \circ f = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ gebräuchlicher, so habe ich es auch in der Schule gelernt. Du hast es anders herum interpretiert, daher evtl. die Verwirrung.

Nichtsdestotrotz, meine Frage nach einer guten Schreibweise für die Definition der Bildmenge bleibt (siehe oben). Dabei ist mir die Reihenfolge egal, die bekomme ich schon raus!

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