Eine Frage über Numerische Stabilität

30.06.2012, 17:31

fan2012

Eine Frage über Numerische Stabilität

Hallo alle

In [WS] A-Stabilität habe ich viele wichtige Dinge für meine Arbeit gefunden, leider einige Punkte noch nicht kapiert.

Meine Fragen:

1: Wie kann ich $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ von einer gewöhnlichen DGL bestimmen?

Durch Dahlquist Testgleichung habe ich die Stabilitätsfunktion $\begin{eqnarray*} R(Z)=R(h~\lambda)=...... \end{eqnarray*}$ für RK-Verfahren 5-ter Ordnung ermittelt, zur Simulation gibt es zwei gewöhnliche DGLn:
$\begin{eqnarray*} U'=-\frac{1}{RC}U+\frac{I}{C} \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{RC} \end{eqnarray*}$ ???
Wenn ja, wieso kann ich $\begin{eqnarray*} \frac{I}{C} \end{eqnarray*}$ vernachlässigen?

zweite Gleichung ist nichtlinear, was kann ich zur Ermittelung von $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ machen?
$\begin{eqnarray*} y'=I-K*10^{-0.12*x} \end{eqnarray*}$ , hier I und K sind Konstante.

2: Ob ich durch Dahlquist Testgleichung nur eine grobe Abschätzung der Schrittweite bekommen kann, die tatsächliche Stabilitätsgebiet ist noch vom individuellen Fall abhängig?

Danke sehr!!! smile

30.06.2012, 18:36

system-agent

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Zu 1)
Da gibt es soweit ich weiss keine allgemeine Methode. Aber was du tun könntest:
Bilde die Jacobimatrix der rechten Seite deiner DGL und suche den grössten Eigenwert. Nutze diesen als dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Zu 2)
Das Stabilitätsgebiet hängt nur von dem Verfahren ab, das du benutzen willst. Nimmst du ein anderes Verfahren, dann kriegst du im Allgemeinen ein anderes Stabilitätsgebiet. Das heisst betrachtest du für dieselbe DGL immer ein anderes Verfahren, dann kriegst du natürlich auch verschiedene "Grenzschrittweiten", bis zu denen du gehen kannst.

30.06.2012, 18:43

fan2012

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Vielen Danke Wink

01.07.2012, 11:02

system-agent

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RE: Eine Frage über Numerische Stabilität

Zitat:

Original von fan2012
zweite Gleichung ist nichtlinear, was kann ich zur Ermittelung von $\begin{eqnarray*} ~\lambda \end{eqnarray*}$ machen?
$\begin{eqnarray*} y'=I-K*10^{-0.12*x} \end{eqnarray*}$ , hier I und K sind Konstante.

Hier hast du im Übrigen sowieso keine "echte" DGL; auf der rechten Seite kommt kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vor.

01.07.2012, 18:32

fan2012

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RE: Eine Frage über Numerische Stabilität

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Hier hast du im Übrigen sowieso keine "echte" DGL; auf der rechten Seite kommt kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vor.

Tippfehler
$\begin{eqnarray*} y'=I-K*10^{-0.12*y} \end{eqnarray*}$

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