Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?

30.06.2012, 17:38

annabellaaa

Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?

Meine Frage:
In Analysis II habe ich gelernt, dass aus einer Norm eine Metrik gewonnen werden kann. Intuitiv würde ich aber denken, dass es anders rum genauso gut bzw eigentlich sogar besser geht.

Meine Ideen:
Die Metrik kann man doch quasi als "räumliches" (Raum im mathematischen Sinn) Verhältnis der Vektoren (oder auch anderes?) auffassen. Dann müsste man doch die Norm als damit auch gegebene Verhältnis zum Nullelement auffassen können, oder? Mit anderen Worten, mir kommt die Metrik als das grundlegendere vor? Bei der Norm scheint doch noch gar nicht klar zu sein wie die Elemente (außer zum Nullelement) verortet sind (flappsig gesprochen): Wobei ich auf diesem Punkt nicht beharren möchte. Mir scheint es aber in beide Richtungen möglich zu sein.
Vielleicht liegt diese Auffassung aber auch nur daran, dass mir bei der offiziellen Richtung: aus einer Norm kann man eine Metrik induzieren, nicht ganz klar ist wie dies funktioniert. Dort steht dann einfach d(x,y) := IIx-yII, wobei mir nicht klar ist woher wir schon wissen was Minus eigentlich bedeutet. Ist dies in einem solchen Raum schon definiert?

30.06.2012, 18:02

system-agent

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?

Zitat:

Original von annabellaaa
Dort steht dann einfach d(x,y) := IIx-yII, wobei mir nicht klar ist woher wir schon wissen was Minus eigentlich bedeutet. Ist dies in einem solchen Raum schon definiert?

Ja, denn du hast das wichtigste überlesen: Das Ganze spielt sich in einem Vektorraum ab !!

Und ja, wenn du einen normierten Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hast, das heisst ein Vektorraum auf dem eine Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann kannst du einfach mal die Abbildung
$\begin{eqnarray*} d : V\times V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d(x,y):=\|x-y\| \end{eqnarray*}$ definieren und leicht nachrechnen, dass diese tatsächlich die Axiome einer Metrik erfüllt.

Das heisst dann eben, dass jede Norm eine Metrik produziert.

Für die Umkehrung geht das nicht:
Eine Norm ist per Definition eine Abbildung, die auf einem Vektorraum definiert ist. Ein metrischer Raum hingegen ist einfach eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zusammen mit einer Metrik $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Insbesondere muss $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht ein Vektorraum sein.

30.06.2012, 19:18

IfindU

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?
Eine Ergänzung zu system-agents Post:

Eine Metrik gibt dir nur das Verhältnis zwischen Vektoren an, kann dir aber nichts wirkliches über die Vektoren selbst sagen.

Wenn wir einen Vektorraum V nehmen und die Metrik
$\begin{eqnarray*} d(u,v) = \begin{cases} 0, & u = v \\ 1, & u \neq v \end{cases} \end{eqnarray*}$ für alle u,v aus V definieren. Man kann leicht nachprüfen, dass es eine Metrik ist. Wenn du eine Metrik $\begin{eqnarray*} \| u\| = d(u,0) \end{eqnarray*}$ definieren willst, dann hat jedes Element die Norm 1 (außer die 0 selbst). Damit ist es nicht homogen, also
$\begin{eqnarray*} \| \lambda u\| = \| u\| \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Das ist keine Norm.

01.07.2012, 13:53

annahelp

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?
Also, wann ist eine Metrik (in einem VR) auch eine Norm ?

01.07.2012, 20:08

system-agent

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A priori nie; du musst nämlich zunächst einmal erklären, wie du aus der Metrik eine Abbildung produzieren willst, die der Kandidat für eine Norm ist.

Das ist überhaupt nicht so klar - was du gerade am Beispiel von IfindU sehr schön sehen kannst.

Die natürliche Wahl für einen Kandidaten für eine Norm ist sicherlich $\begin{eqnarray*} \|x\|:=d(x,0) \end{eqnarray*}$ , nur das obige Beispiel zeigt dass es nicht immer gut geht.

01.07.2012, 21:48

annahelp

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IFindU zeigt nur ein Beispiel einer Metrik die keine beschränkte (absorbierbare) Nullumgebung hat, wie im übrigen jede Metrik, die durch d/(1+d) einer anderen Metrik erzeugt wurde. Genau dies braucht man für einen lokalkonvexen Raum, damit die Top. von einer Norm erzeugt wird. - Die Konstruktion erfolgt über die Null-Umgeb.Basen, aber das war nicht gefragt. - Naiv: Das 'Schachteln' (absorbieren) gewährleistet die Homogenität. - Semidef.heit behebt man ggfs. durch eine ÄR.

Oder ?!

01.07.2012, 21:59

Hansen38

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Zitat:

Original von annahelp
IFindU zeigt nur ein Beispiel einer Metrik die keine beschränkte (absorbierbare) Nullumgebung hat, wie im übrigen jede Metrik, die durch d/(1+d) einer anderen Metrik erzeugt wurde. Genau dies braucht man für einen lokalkonvexen Raum, damit die Top. von einer Norm erzeugt wird. - Die Konstruktion erfolgt über die Null-Umgeb.Basen, aber das war nicht gefragt. - Naiv: Das 'Schachteln' (absorbieren) gewährleistet die Homogenität. - Semidef.heit behebt man ggfs. durch eine ÄR.

Oder ?!

Ich versteh nur Bahnhof... Aber das was system-agent und IfindU bisher gesagt habne, ist für mich vollkommen verständlich. Nur was annehlp meint nicht.

08.07.2012, 15:18

annabellaaa

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von annabellaaa
Dort steht dann einfach d(x,y) := IIx-yII, wobei mir nicht klar ist woher wir schon wissen was Minus eigentlich bedeutet. Ist dies in einem solchen Raum schon definiert?

Ja, denn du hast das wichtigste überlesen: Das Ganze spielt sich in einem Vektorraum ab !!

also ist in jedem vektorraum y-x mit y=(a, b, c) und x= (d, e, f) definiert durch (a-d, b-e, c-f) ?

war mir irgendwie nicht bewusst. aber es klärt schon einiges, wenn die metrik so viel spezieller, bzw die norm allgemeiner ist.

08.07.2012, 15:20

annabellaaa

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ps: ich hätte jetzt halt auch gedacht dass die metrik allgemeiner ist, da sie sozusagen das verhältnis der vektoren untereinander definiert und die norm sozusagen "nur" das spezielle verhältnis jedes vektors zum nullelement definiert.

08.07.2012, 15:24

annabellaaa

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?

Zitat:

Original von IfindU
Eine Ergänzung zu system-agents Post:

Eine Metrik gibt dir nur das Verhältnis zwischen Vektoren an, kann dir aber nichts wirkliches über die Vektoren selbst sagen.

Wenn wir einen Vektorraum V nehmen und die Metrik
$\begin{eqnarray*} d(u,v) = \begin{cases} 0, & u = v \\ 1, & u \neq v \end{cases} \end{eqnarray*}$ für alle u,v aus V definieren. Man kann leicht nachprüfen, dass es eine Metrik ist. Wenn du eine Metrik $\begin{eqnarray*} \| u\| = d(u,0) \end{eqnarray*}$ definieren willst, dann hat jedes Element die Norm 1 (außer die 0 selbst). Damit ist es nicht homogen, also
$\begin{eqnarray*} \| \lambda u\| = \| u\| \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Das ist keine Norm.

was heißt es ist nicht homogen? und wieso ist das dein keine norm?

//edit: ok verstanden. ist ja so definiert. merci smile

08.07.2012, 16:45

IfindU

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RE: Kann aus einer Metrik auch eine Norm werden?
Ich denke das Problem ist, dass man in der Vorstellung sich generell nur normierte bzw. Inner-Produkt-Räume vorstellt.

So war mein Beispiel ein Raum, wo jedes Element genau 1 voneinander entfernt ist. Beim Vorstellen wird man erste Probleme haben, denn man kann im 2-Dimensionalen schon mit Bleistift und Papier nur jeweils 3 Punkte malen, so dass das Lineal wirklich 1cm Abstand anzeigt - ein gleichseitiges Dreieck. Versucht man irgendwie einen 4. Punkt zu ergänzen müsste man ihn sich im Raum vorstellen, damit das noch gut geht. Für den 5. Punkt darf man dann ins 4-Dimensionale gehen.

Also hat diese Metrik nichts mit der Realität zu tun, mit der wir es die ganze Zeit zu tun haben. Was die Metrik macht: ich male mir irgendwo 5 Punkte hin, verbinde sie mit Linien und sage, dass jede Linie genau 1cm lang ist.
Das Lineal (aka die Norm) wird da aber widersprechen.

Ist konfuser als ich gehofft habe.

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