Prüfen auf lineare Abbildung

30.06.2012, 19:52

SilverShadow

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Prüfen auf lineare Abbildung

Hallo!
Hätte eine Frage zu einer Aufgabe:

Hier muss man ja jeweils prüfen auf
$\begin{eqnarray*} 1) f(bx)=bf(x) , b \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$

a)
1. $\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n ba_ix^i)=f(b\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i)=bf(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n (a_ix^i) + \sum\limits_{i=0}^n (a_iy^i)) \end{eqnarray*}$ .... gute Frage wie man da jetzt weitermacht. Falls es eine lin. Abb. ist sollte $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} ((i+1)a_i+x^i)+ \sum\limits_{i=0}^{n-1} ((i+1)a_i+y^i) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Oder mache ich hier was komplett falsch?

Vielen Dank! smile

smile

30.06.2012, 21:17

JuniorMathematiker

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RE: Prüfen auf lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} 2) f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n (a_ix^i) + \sum\limits_{i=0}^n (a_iy^i)) \end{eqnarray*}$ .... gute Frage wie man da jetzt weitermacht. Falls es eine lin. Abb. ist sollte $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{i=0}^{n-1} ((i+1)a_i+x^i)+ \sum\limits_{i=0}^{n-1} ((i+1)a_i+y^i) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

ja ist doch alles richtig und jetzt überlegst du einfach wie dus machst....

du weißt ja auf was f abbildet. das schreibst du hin...
wenn du das hingeschrieben hast dann denke ich kann man ja die summen auseinanderziehen (also in zwei summen) und dann hast du denke ich schon da stehen was du brauchst.

also nehme an, dass es nicht so schwer ist.

Gruß JM

30.06.2012, 21:48

SilverShadow

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Was ich mich im Nachhinein noch gefragt habe:
Muss ich das b eigentlich nicht noch als allererstes mit x multiplizieren?
Also $\begin{eqnarray*} (bx)^i \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 21:57

JuniorMathematiker

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nein, stimmt so wie es da steht.

also so wie du es am anfang geschrieben hast ist richtig.

30.06.2012, 22:05

SilverShadow

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Ok.

Ja ich weiß wie f abbildet, aber wie schreibe ich das hin?
Eventuell irgendwie so?
$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n (a_ix^i) + \sum\limits_{i=0}^n (a_iy^i))=f(\sum\limits_{i=0}^n (a_ix^i+ a_iy^i)) \end{eqnarray*}$

30.06.2012, 22:28

JuniorMathematiker

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hmm ne so habe ich das nicht gemeint.

eher so:

$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i} + \sum\limits_{i=0}^n a_{i}y^{i}) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} (i+1)a_{i+1} x^{i} + \sum\limits_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1} y^{i} \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du schauen wie du das so zusammenfügen kannst, dass du letzendlich auf deine gewünschte form kommst.

verstehst du was ich meine??

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30.06.2012, 22:52

JuniorMathematiker

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Zitat:

Original von JuniorMathematiker
ne sorry... das stimmt so nicht. das muss etwas anders aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(\sum\limits_{i=0}^n( a_{i}x^{i} + a_{i}y^{i})) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} ((i+1)a_{i+1} x^{i} + (i+1)a_{i+1} y^{i}) =... \end{eqnarray*}$

im prinzip bist du ganz nah dran. jetzt überlege dir wie du die summe auseinanderziehen kannst und dann hast du dein ergebnis da stehen!!

30.06.2012, 22:57

SilverShadow

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Das was du hingeschrieben hast ist doch gerade die gesuchte Form, also f(x+y)=f(x)+f(y).

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n-1} (i+1)a_{i+1} x^{i} + \sum\limits_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1} y^{i}= f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist ja eben, ob man mit dem f(x+y) auf die Form von oben kommt. Du bist doch jetzt davon ausgegangen, dass die Funktion so wie für eine lin. Abb. gewünscht abbildet, aber das muss ja nicht der Fall sein?

E: Was nun Big Laugh

Big Laugh

30.06.2012, 23:07

JuniorMathematiker

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ja habe mich davor verschrieben... wenn du dir jetzt also meine beiden einträge zusammen anschaust hast du im prinzip die lösung...

30.06.2012, 23:09

JuniorMathematiker

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hmm also du kannst von beiden seiten rangehen...
wie gesagt wollte eigentlich gar nicht die ganze lösung hinschreiben...
aber jetzt ist es zu spät ...

30.06.2012, 23:37

SilverShadow

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Sagen wirs mal so, die Fortführung davon wäre nicht mehr schwer gewesen; war mir nur nicht ganz sicher.
Mhm, bei der b) geht das doch analog, womit das auch eine lin. Abb. wäre.

Hätte jetzt aber rein von der Aufgabenstellung her geschätzt, dass das keine ist verwirrt

verwirrt

30.06.2012, 23:44

JuniorMathematiker

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würde ich nochmal drüber nachdenken....
meiner meinung nach gibt es einen satz der besagt das für eine lineare abbildung gilt:

f(0) = 0

01.07.2012, 14:29

SilverShadow

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Stimmt, das stand bei Wikipedia nur etwas versteckt ;P
Also müsste ich inkl. dieser Eigenschaft immer gleich 3 Dinge bei lin. Abb. überprüfen?

Und bei der b) kommt für f(0) wie man sieht ja nicht =0 raus, also ist es keine lin. Abb..

01.07.2012, 15:29

JuniorMathematiker

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naja... eigentlich geht das aus den anderen 2 hervor.

und man sieht das eigentlich immer relativ schnell!

01.07.2012, 15:48

SilverShadow

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Für den Fall, dass b=0 ist? also bei f(bx)=bf(x)

01.07.2012, 15:54

JuniorMathematiker

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ja genau! so kann man das zeigen, dass die 0 auf die 0 abbildet

01.07.2012, 16:05

SilverShadow

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Super, dann wärs das ja schon.

Vielen Dank dann für die tolle Hilfe! Wink

Wink

01.07.2012, 17:16

JuniorMathematiker

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kein problem!

weiß selber wie schwer das alles manchmal sein kann. deswegen freue ich mich, wenn ich auch mal helfen kann smile

smile

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