Gewinnmaximale Ausbringungsmenge für Zwei Produkte

01.07.2012, 00:58

ColdyIce

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Gewinnmaximale Ausbringungsmenge für Zwei Produkte

Meine Frage:
Ich habe eine Kostenfunktion
K(x,y) = 0,5(x+y)²+20(x+y)+10.000

Die Preise für die Produkte, die erzielt werden können sind mengen abhängig mit px=500-x und py=600-2y

Wie berechnet man nun die maximale Ausbringungsmenge

Meine Ideen:
Mein Anfang war

Umsatz(x,y)=500x-x²+600y-2y²

Gewinn(x,y)=500x-x²+600y-2y²-0,5(x+y)²-20(x+y)-10.000
=-1,5x²+480x-2,5y²+580y-xy-10.000

Gewinnmaximal = Hochpunkt von G(x,y) = Nullstelle von G´(x)

Dannach hab ich es mal weiterprobiert bin aber auf eine wahrscheinlich falsche Lösung gekommen.

K(x,y)=0,5(x+y)²+20(x+y)+10.000
K(x)=x+y+20

U(x,y)=500x-x²+600y-2y²
U(x)=500-2x

G(x)=(500-2x)-(x+y+20)
G'(x)=-3

Weiter bin ich nicht gekommen. ich hoffe Ihr könnt mir ein wenig helfen.

Danke

01.07.2012, 01:26

Kasen75

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Hallo,

du warst doch auf dem richtigen Weg:

$\begin{eqnarray*} G(x,y)=-1,5x^2+480x-2,5y^2+580y-xy-10.000 \end{eqnarray*}$

Jetzt diese Gewinnfunktion G(x,y) nach x ableiten und diese Ableitung Null setzen.
Dann nimmst du nochmal G(x,y) und leitest diese nach y ab und setzt diese Ableitung auch wieder Null.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G(x,y)}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G(x,y)}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichungssystem lösen.

Bei Zwischenergebnissen oder Fragen, bitte posten.

Mit freundlichen Grüßen.

01.07.2012, 02:27

ColdyIce

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Danke für die Hilfe ich habs mal so weiter gemacht.

G(x,y)=-1,5x²+480x-2,5y²+580y-xy-10.000

G(x)=-3x+480
G(y)=-5y+580

G(x)=0
0=-3x+480/*(-1)
0=3x-480

G(y)=0
0=-5y+480/*(-1)
0=5y-480

Pq-Formel:

x1= 20,46
x2= -23,46

y1= 21,71
y2= -26,71

Sind nun die gewinnmaximalen Ausbringungsmengen 20,46 und 21,71?

01.07.2012, 02:36

Kasen75

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Hallo Coldyice,

deine Ableitungen sind nicht schlecht.

Du hast nur vergessen den rot-markierten Teil der Gewinnfunktion jeweils nach x und y abzuleiten.

$\begin{eqnarray*} G(x,y)=-1,5x^2+480x-2,5y^2+580y\textcolor{red}{-xy}-10.000 \end{eqnarray*}$

Und in der Ableitung nach y kommt kein 480 vor. Schau da noch mal genau hin.

Mit freundlichen Grüßen.

01.07.2012, 03:16

ColdyIce

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Die 480 beim y war ein Schreibfehler sollte 580 heißen.
Ich dachte auch das xy noch abgeleitet werden musste aber dann würde

G(x)=-3x+480-y
G(y)=-5y+580-x

rauskommen. Wie setzte ich dies dann in eine pq Formel. Das x und y an jeder Funktion stört.
Oder habe ich es womöglich falsch abgeleitet und die Ergebnisse wären

G(x)=-3x+480-x
G(x)=-4x+480

G(y)=-5y+580-y
G(y)=-6y+580

01.07.2012, 03:34

Kasen75

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Lass dich nicht verwirren.

Diese Ableitungen sind richtig:

$\begin{eqnarray*} G_x^{\prime}(x,y)=-3x+480-y=0<br /> G_y^{\prime}(x,y)=-5y+580-x=0 \end{eqnarray*}$
Freude

Freude

Dafür brauchst du keine p-q-Formel. Du kannst die erste Gleichung nach y auflösen. Den Ausdruck für y in die zweite Gleichung einsetzen und nach x auflösen.

Mit freundlichen Grüßen.

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01.07.2012, 03:59

ColdyIce

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Erste Formel nach y aufgelöst hab ich dann y=-3x+480

und nach dem einfügen:

x=-130

dann hab ich

die zweite Formel genommen und nach x aufgelöst x=-5y+580
und in die erste Formel eingefügt:

y=-78,75

01.07.2012, 04:05

Kasen75

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Vom Betrag her ist der Wert richtig. Freude

Freude

Aber warum hast du für $\begin{eqnarray*} x=\textcolor{red}{-}130 \end{eqnarray*}$ raus?

Mal abgesehen von mathematischen Zusammenhängen, x kann nicht negaitv sein. Produktmengen sind nie negativ!!

Wenn du das "richtige" x heraus hast, dann kommt auch eine glatte Zahl für y heraus.

01.07.2012, 04:15

ColdyIce

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x=-130 war wieder ein Schreibfehler ist schon spät ^^ sollte x=130 heißen

und bei y hab ich 90 raus

01.07.2012, 04:25

Kasen75

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Sehr gut.

Freude

Freude

Es ist in der Tat schon spät oder auch früh.

Jetzt müsste man noch prüfen, ob der Extremwert ein Maximum oder Minimum ist. Dies kann man mit der Hesse-Matrix tun. Wenn du willst, können wir das auch noch machen.
Man kann aber auch mit den beiden Vorzeichen vor den Ausdrücken $\begin{eqnarray*} -1,5x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2,5y^2 \end{eqnarray*}$ argumentieren. Das ist wie bei der Parabel $\begin{eqnarray*} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ . Ist a negativ ist sie ja nach unten geöffnet.
Hier ist das genauso. Beide haben ein negatives Vorzeichen, also nach unten geöffnet, und zwar in beide Richtungen.

Habe mal eine Grafik der Gewinnfunktion, in der Umgebung des Extremwertes,
angehängt.

Mit freundlichen Grüßen

01.07.2012, 04:45

ColdyIce

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Vielen Dank für deine Unterstützung.

Wir haben die Hesse Matrix im Finanz Studium nie durchgenommen da Mathe eher ein kleines Fach bei uns ist. Habe aber schonmal von einem Informatik Studenten davon gehört.
Ist für die Untersuchung der gewinnmaximalen Ausbringungsmengen der Extremwert von Nöten?

01.07.2012, 04:53

Kasen75

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Wie gesagt man kann über die Vorzeichen argumentieren. Geht aber nicht bei jeder Funktion so eindeutig (hier gehts). Oder über die Hesse-Matrix. Es ist deine Entscheidung. Falls ja, braucht man auf jeden Fall die 2. Ableitungen.
Also jeweils

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial G(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$ nach x und y ableiten.

Hab dir gerne Tipps gegeben. smile

smile

01.07.2012, 05:18

ColdyIce

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Für die zweite Ableitung nach x und y von der Funktion G'x(x,y)= -3x+480-y
hab ich G(xx)= -3 und G(xy)= 0.

01.07.2012, 05:24

Kasen75

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G(xx)= -3

Freude

Was ist denn die Ableitung von -y nach y? Es ist nicht Null.

Kannst ja gleich noch

$\begin{eqnarray*} G_{yx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_{yy} \end{eqnarray*}$ machen.

01.07.2012, 05:39

ColdyIce

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Die Basics werden meisten vernachlässigt deswegen weiß ich nicht wie -y nach y abgeleitet wird aber ich tippe auf -1

G(yx)= -1
G(yy)= -5

01.07.2012, 06:05

ColdyIce

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Und da G(xx) < 0 und G(yy) < 0 sind haben beide ein Maximum würd ich mal so behaupten.

01.07.2012, 06:06

Kasen75

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Genau.

Freude

richtig ermittelt.
$\begin{eqnarray*} G_{xy} \end{eqnarray*}$ ist übrigens auch -1. Es ist immer so, dass $\begin{eqnarray*} G_{xy}=G_{yx} \end{eqnarray*}$ ist.

Die Hesse-Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} H_f=\begin{pmatrix} G_{xx} & G_{xy} \\ G_{yx} & G_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} H_f=\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von der Hesse-Matrix muss man dann Determinanten der Untermatrizen bestimmen.

Die 1. Untermatrix ist einfach $\begin{eqnarray*} G_{xx} \end{eqnarray*}$
Die 2. Untermatrix ist die Matrix an sich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} G_{xx} & G_{xy} \\ G_{yx} & G_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob du jetzt schon Determinanten berechnen kannst. Wenn nicht, kannst du ja mal hier nachschauen: Link

Ob eine quadratische Funktion positiv oder negativ definit (wird dort erklärt) ist kannst du hier sehen.

Und die Entscheidungsregel ist dann (Wikipedia):
Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.

Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.

Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.

Schau mal wie weit du kommst. Ich schlaf noch ein paar Stunden. Bis später (Was immer das heißt).

Mit freundlichen Grüßen.

01.07.2012, 06:08

Kasen75

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Die Behauptung ist leider falsch (siehe letzten Beitrag).

Bis heute (Nach)Mittag.
Wink

Wink

Wink

01.07.2012, 06:13

ColdyIce

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Danke ich werds mal durchprobieren bis heut mittag^^

01.07.2012, 07:10

ColdyIce

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Okay hatten wir nicht, aber probiere es mal trotzdem.

Mit der Hesse-Matrix von
$\begin{eqnarray*} <br /> HF = \begin{pmatrix} G_{xx} & G_{xy} \\ G_{yx} & G_{yy} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> HF = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -5 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

In der 2x2 Matrix wärs dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> HF = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

1. Untermatrix:

a11 = -3

2. Untermatrix:

(a11+a22)-(a12+a21) = (-3+(-5))-(-1+(-1)) = -6

Beide Untermatrixen sind < 0 deswegen sind sie negativ definit und es handelt sich hierbei um ein lokales Maximum. Richtig so?

01.07.2012, 07:17

Kasen75

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1. Untermatrix:

a11 = -3 Freude

Freude

Die Formel für die 2. Untermatrix ist
$\begin{eqnarray*} (a_{11}*a_{22})-(a_{12}*a_{21}) \end{eqnarray*}$

Jetzt geh ich wirklich ins Bett. Wink

Wink

01.07.2012, 07:25

ColdyIce

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Stimmt.

(a11*a22)-(a12*a21) = (-3*-5)-(-1*-1) = 14

Da beide unterschiedlich sind ist A indifinit und ist ein Sattelpunkt

Hahaha ich denk ich auch

01.07.2012, 07:40

Kasen75

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schau dir die Definition von negativer Definitheit nochmal genauer. Ist ein bisschen kryptisch:

$\begin{eqnarray*} {(-1)}^{k} \cdot \mid A_k \mid \ > 0 \end{eqnarray*}$

k ist der Index für die Untermatrix.

Du hast als letztes die Determinante für k=2 ausgerechnet. Schläfer

Schläfer

01.07.2012, 08:05

ColdyIce

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Genau da hatte ich das problem mit dem Entziffern^^
Ich versteh die Formel nicht so ganz Ak ist denk ich die zweite Untermatrix aber was ist (-1)^k.

Aus Google hab ich entnommen das die erste Untermatrix negativ und die zweite Positiv sein muss.

Also das heißt das erste -3 und das zweite 14. Also ein Maximum

01.07.2012, 08:08

ColdyIce

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Wenn ich k=2 ausgerechnet habe dann ist es eingesetzt (-1)^2 = 1 > 0
So denk ichs mal. Aber woher hast du die k=2? Weil es eine 2x2 Matrix ist?

01.07.2012, 08:23

Kasen75

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Zitat:

Wenn ich k=2 ausgerechnet habe dann ist es eingesetzt (-1)^2 = 1 > 0

$\begin{eqnarray*} (-1)^2*14=14>0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weil es eine 2x2 Matrix ist?

es ist die zweite (k=2) untermatrix. die ist immer 2x2. egal wie groß die matrix an sich ist.

k=1
$\begin{eqnarray*} (-1)^1*(-3)=3>0 \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 09:06

ColdyIce

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ahhh okay habs verstanden danke für deine Hilfe. Kurzer schlaf^^

01.07.2012, 16:04

Kasen75

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Freut mich, dass du es verstanden hast. smile

smile

Wenn noch Fragen bezüglich Extremwerten bzw. Gewinnmaxima auftauchen, you are Willkommen

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