Beweis: Ableitung positiv

01.07.2012, 04:51

Sophie21

Beweis: Ableitung positiv

Meine Frage:
Es ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi _{k} - \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi ^{*} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich soll nun beweisen, dass die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ positiv ist.

Evtl führen meine bisherigen Überlegungen in die Irre, ich poste sie trotzdem:

$\begin{eqnarray*} Gleichung \ umformen: \\ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi _{k} - \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi ^{*} = \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k }\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \\ gdw \ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \\ Ableitung\ waere: \\ \frac{d}{d\gamma } = \sum\limits_{k=1}^\infty k\gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \\ Das\ Problem\ reduziert\ sich\ also\ auf: \\ Gegeben:\\ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \\ Daraus\ soll\ bewiesen\ werden,\ dass: \\ \frac{d}{d\gamma } = \sum\limits_{k=1}^\infty k\gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right)\geq 0 \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich aber leider nicht und wie gesagt, vllt befinde ich mich mit meinen bisherigen Überlegungen auch auf dem Holzweg. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

lg
Sophie

01.07.2012, 09:36

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Ableitung positiv
Hi,

meine Idee dazu wäre das du eine Indexverschiebung durchführst und die Reihe in die Form einer geometrische Reihe bringst. Anschließend würde ich die Partialsumme untersuchen. Ob dies zum Ziel führt weiß ich allerdings nicht.

Viele Grüße, hangman. Wink

01.07.2012, 15:18

Sophie21

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, habe das nun gemacht, zu einem Ergebnis komme ich allerdings immer noch nicht.
Zusätzlich ist noch zu erwähnen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} 0<\gamma<1 \end{eqnarray*}$

Umformung der Gleichung führt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi _{k} -\frac{\gamma }{1-\gamma } \pi ^{*} \geq 0 \\ gdw\\ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k-1} \pi _{k} -\frac{1 }{1-\gamma } \pi ^{*} \geq 0 \\ Damit\ soll\ nun\ bewiesen\ werden:\\ \frac{d}{d\gamma } = \sum\limits_{k=1}^\infty k\gamma ^{k-1} \pi _{k} -\left(\frac{1}{1-\gamma }+\frac{\gamma }{\left(1-\gamma \right) ^{2} } \right)\pi ^{*} \geq 0 \\ gdw:\\ \frac{d}{d\gamma } = \sum\limits_{k=1}^\infty k\gamma ^{k-1} \pi _{k} -\frac{1 }{\left(1-\gamma \right) ^{2} } \pi ^{*} \geq 0 \\ \end{eqnarray*}$

02.07.2012, 12:03

Sophie21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat denn wirklich sonst keiner eine Idee?
Wie schon oben beschrieben, mein Problem wäre gelöst, wenn ich beweisen könnte, dass

$\begin{eqnarray*} Gegeben: \\ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \\ 0< \gamma <1 \\\\ Bewiesen \ werden \ soll \ damit: \\ \sum\limits_{k=1}^\infty k\gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich komm einfach nicht drauf, aber ist das wirklich so schwer?
Wäre sehr dankbar für jede Hilfe!

lg
Sophie

02.07.2012, 12:24

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis: Ableitung positiv

Zitat:

Original von Sophie21
$\begin{eqnarray*} Gleichung \ umformen: \\ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi _{k} - \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k} \pi ^{*} = \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k }\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \\ gdw \ \sum\limits_{k=1}^\infty \gamma ^{k -1}\left(\pi _{k} - \pi ^{*} \right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Hallo Sophie,

kannst Du den letzten Schritt nach dem gdw bitte kurz erklären? Welche Bedeutung haben die "gammas" und die "pis"? Sind das komplexe Zahlen?

02.07.2012, 15:37

Sophie21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Telefonmann!
Also im letzten Schritt habe ich einfach beide Seiten durch "gamma" geteilt, die Intention dahinter war, die gegebene Gleichung der Ableitung so ähnlich wie möglich zu machen.

Die Gleichung hat einen wirtschaftlichen Hintergrund:
"gamma" ist ein Diskontfaktor, also zwischen 0 und 1.
"pi" ist eine Auszahlung (Payoff), das "pi mit index" ist also eine Auszahlung die in jeder Periode unterschiedlich sein kann, "das pi mit *" ist eine für jede Periode konstante Auszahlung.

02.07.2012, 16:00

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sophie21
"pi" ist eine Auszahlung (Payoff), das "pi mit index" ist also eine Auszahlung die in jeder Periode unterschiedlich sein kann, "das pi mit *" ist eine für jede Periode konstante Auszahlung.

OK. $\begin{eqnarray*} \pi _k \end{eqnarray*}$ ist also eine reelle Zahl > 0, ebenso wie $\begin{eqnarray*} \pi ^* \end{eqnarray*}$ . Gibt es eventuell noch eine Zusatzbedingung, wie beispielsweise $\begin{eqnarray*} \pi ^* \leq \pi _k \end{eqnarray*}$ oder etwas in der Art?

02.07.2012, 18:37

Sophie21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das sind reelle Zahlen, eigentlich nicht zwingend >0, aber wenn das für den Beweis hilft, kannst du das gerne verwenden! Eine Zusatzbedingung gibt es nicht, mit der von dir angenommenen wäre die Lösung ja auch direkt ersichtlich Augenzwinkern

"pi k" wird in manchen Perioden größer, in manchen kleiner sein als "pi *"

lg Sophie

02.07.2012, 18:44

unwissender!

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sophie21
Ja das sind reelle Zahlen, eigentlich nicht zwingend >0, aber wenn das für den Beweis hilft, kannst du das gerne verwenden! Eine Zusatzbedingung gibt es nicht, mit der von dir angenommenen wäre die Lösung ja auch direkt ersichtlich Augenzwinkern

"pi k" wird in manchen Perioden größer, in manchen kleiner sein als "pi *"

lg Sophie

Hi dann kann es ja sein, das die Ableitung eben nicht immer >= 0 ist!
Falls "pi*" > "PI_k" \forall k summieren sich immer mehr negative werte auf und du hast was negatives.

auser es gibt eien abhängig keit zwischen Pi_k udn PI*

02.07.2012, 18:53

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo unwissender!,

die von Dir genannte Bedingung ist laut Eingangspost ausgeschlossen.

@Sophie: Die Aufgabe ist jetzt ausreichend gut beschrieben, aber mir fällt auf die Schnelle auch nichts ein. Ich melde mich, sobald sich das ändern sollte.

02.07.2012, 19:43

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sophie,

ich habe ein Gegenbeispiel zu der zu beweisenden Behauptung gefunden:

$\begin{eqnarray*} \gamma = 0.9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_1-\pi^* = 0.1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_2-\pi^* = -0.1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi_i-\pi^* = 0 \quad \forall i=3, ... \; \infty \end{eqnarray*}$

03.07.2012, 00:21

Sophie21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
Du hast Recht und damt bin ich nun verwirrt.
Jedenfalls vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Ableitung positiv

Verwandte Themen