Diagonalisierung

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h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierung
Guten Tag zusammen,

Ich muss im Rahmen eines Übungsblattes folgende Matrix durch unitäre Isometrien bzgl. des Standartskalarprduktes diagonalisieren.



Habe schon etwas recherchiert und habe herausgefunden, dass ich die Eigenwerte, sowie die Eigenvektoren berechnen soll.



Eigenwerte:

Eigenwektoren:

zu

zu

zu

Nun weiß ich leider nicht weiter. Vielleicht könnte mir auch jemand erklären, was und warum ich das hier eigendlich machen muss.

Danke smile
HilfloserStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Hammer,

bevor man irgendwelche Erklärungen geben kann, müsste man erst mal wissen, wie genau ihr Diagonalisierbarkeit definiert habt, und ob ihr irgendwelche Hinweise dafür gegeben habt, wie man die invertierbare Matrix, die A diagonalisiert, aufstellt. Je nach Professor sind diese Matrizen unterschiedlich platziert... und das verwirrt dann nur...
Vielleicht wisst ihr ja bereits, dass hermitesche Matrizen immer mit unitären Matrizen diagonalisiert werden können?

Nur so viel zur Motivation: Der Vorteil an der Überführung in eine ähnliche Matrix (hier ist das speziell eine Diagonalmatrix) ist, dass die neue Matrix gleiche Eigenschaften hat wie die alte. Zum Beispiel vererbt sich von A die Spur, die Determinante, der Rang, die Eigenwerte, das charakteristische Polynom und die Jordansche Normalform (die ihr vermutlich noch nicht behandelt habt=.

Viele Grüße!
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wir hatten die Jordanform schon, wie kann ich diese aber hier benutzen?

Gruß h4mmer
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, die Jordannormalform wäre dann ja

h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe jetzt so gelöst:

Aus den Eigenvektoren folgt die Matrix:



Daraus folgt:

Wenn ich dann berechne, lande ich bei der Matrix , die diagonalisiert ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.

Ist dieses Verfahren mit der Aufgabenstellung gemeint?

Danke schonmal smile
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
du hast hier nur "normal" diagonalisiert, aber nicht unitär.
für eine unitäre isometrie gilt immer :
.
deine matrix ist keine isometrie, denn .
um eine isometrie aus deinen eigenvektoren zu basteln, beachte dass die folgende äquivalenz gilt:
isometrie bzgl. spalten & zeilen von bilden eine ONB.
 
 
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal euch beiden für eure Antworten (hatte ich doch glatt vergessen unglücklich )

Also, ich habe versucht die Eigenvektoren zu Normieren, damit sie eine ONB bilden.

Also wird aus:





Beim Eigenvektor zu komme ich nicht weiter.

Wenn ich diesen hätte, müsste ich dann wieder die Matrix aufstellen, invertieren und dann einmal ausrechnen?

Danke nochmal
AlphaCentauri Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo smile
Also deine Eigenvektoren stimme nicht! Ich denke, dass liegt daran, dass du vergessen hast das Standartskalarprodukt in zu betrachten: Für gilt: . damit sollte auch der Eigenvektor zum Eigenwert kein Problem mehr darstellen Augenzwinkern

Alpha
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Also deine Eigenvektoren stimme nicht


Meinst du damit die EV:

Zitat:
zu zu zu


(Ich hoffe nicht)

Aber du hattest recht.

Meine "neuen" Eigenvektoren wären:

HilfloserStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Hammer,

wenn Du aus den drei linear unabhängigen Vektoren eine Orthonormalbasis basteln möchtest, würde ich Dir das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt empfehlen. Das habt ihr sicher behandelt.

Dann bekommst Du drei Vektoren, die eine Matrix bildet, die tatsächlich unitär ist. Und jede unitäre Matrix stellt auch eine Isometrie dar.

LG
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmals in der Theorie:

Zuerst soll ich eine Orthogonalbasis der EV: zu zu berechnen

Dann diese Vektoren normieren.

Als nächstes die Matrix der normieren Vektoren aufstellen.

Diese invertieren und dann berechnen.

Gruß
g4de Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Zitat:
Original von h4mmer
Also nochmals in der Theorie:

Zuerst soll ich eine Orthogonalbasis der EV: zu zu berechnen

nicht ganz, deine eigenvektoren sind schon orthogonal zueinander, weil deine matrix hermitesch , also selbstadjungiert und damit insbesondere normal ist, was die orthogonalität der eigenräume impliziert.

Zitat:
Dann diese Vektoren normieren.


genau, du machst aus deiner orthogonalbasis eine orthonormalbasis

Zitat:
Als nächstes die Matrix der normieren Vektoren aufstellen.


richtig, das ist deine basiswechselmatrix Freude

Zitat:
Diese invertieren und dann berechnen.


genau, hier zeigt sich auch der vorteil an einer unitären diagonalsierung; die inverse von ist ganz einfach die komplex-konjugerte-transponierte.
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

Meine normierten EW wären:



Meine Matrix

Daraus folgt dann:



Dann müsste: sein.
HilfloserStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht gut aus. Oh, sorry stimmt, ich hatte vergessen, dass die Orthogonalität der Eigenräume automatisch gegeben ist für hermitesche Matrizen...

Diese unitäre Matrix stellt jedenfalls eine Isometrie dar. Falls eure Übungsleiter darauf wertlegen, kannst Du jetzt natürlich noch die zugehörige Standardabbildung definieren (war ja nach einer Isometrie gefragt)...
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ich danke euch nochmals allen für eure Hilfe smile
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