Parabelschar

01.07.2012, 20:30

Christoph_1991

Parabelschar

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar fa durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x²+a \end{eqnarray*}$

a ist Element von IR \ {0}

a) Geben Sie den Scheitelpunkt von fa in Abhängigkeit von a an und beschreiben Sie die Parabeln in Abhängigkeit von a.

b) Prüfen Sie, ob die Funktion fa Nullstellen besitzt. Geben Sie sie ggf. an.
c) Zeigen Sie: Jede Parabel fa wird von der Geraden y = 2x berührt und berechnen Sie den
Berührpunkt in Abhängigkeit von a.
d) Berechnen Sie die Schnittstellen zweier Parabeln der Schar fa.
e) Setzen Sie nun a = 3 und a = - 0,5 und zeichnen Sie die beiden Parabeln, sowie die Gerade aus 3c).

Meine Ideen:
a) Ich habe hier die Lösungsformel verwendet um auf die Nullstellen zu kommen und somit den Scheitel zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-a\pm \sqrt{a²-4*\frac{1}{a} * 0} }{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$

Diskriminante ergibt $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²} \end{eqnarray*}$
= a

a1 = $\begin{eqnarray*} \frac{-a + a}{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$ = 0

a2 = $\begin{eqnarray*} \frac{-a - a}{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$ = -a²

Scheitel: 0 + 0,5*(-a² - 0) => $\begin{eqnarray*} \frac{a²}{2} \end{eqnarray*}$

Form:
wenn a positiv, dann Parabel nach oben geöffnet.
wenn a negativ, dann Parabel nach oben geöffnet.

b) Nst: a1 = 0 ; a2 = -a²

c) Gleichsetzen beider Funktionen ermitteln den benötigten x-Wert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x²+a \end{eqnarray*}$ = 2x | *a

x²+ a = 2ax | -x²
a = -x²+2ax

Lsg.-Formel:

a = -1 ; b = 2a ; c = 0

$\begin{eqnarray*} \frac{-2a\pm \sqrt{4a²-4*(-1)*0} }{-2} \end{eqnarray*}$

D = $\begin{eqnarray*} \sqrt{4a} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist ein Berührpunkt =>
D = 0 => a = 0

a1 = $\begin{eqnarray*} \frac{-2a + 0}{-2} \end{eqnarray*}$ => a => 0

a2 = $\begin{eqnarray*} \frac{-2a - 0}{-2} \end{eqnarray*}$ => a => 0

=> Berührpunkt soll 0 sein; laut Definitionsmenge aber NICHT möglich => KEIN Berührpunkt vorhanden.

d) Schnittstellen zweier Parabeln:
Hier hänge ich ziemlich in der Luft und weiß nicht ob mein Ansatz überhaupt richtig ist.

Diskriminante > 0 für 2 Lsg. (2 Schnittpunkte) => a > 0

D = $\begin{eqnarray*} \sqrt{4a²} \end{eqnarray*}$

Alle Werte > 0 ergeben einen Schnittpunkt (klingt für mich nicht logisch, wo ist mein Fehler?).

01.07.2012, 20:38

Christoph_1991

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EDIT: zu Punkt d)

alle Zahlen einsetzbar außer 0.

01.07.2012, 20:42

Dopap

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am Anfang gefällt mir die Zuordnung der Fomparameter der Lösungsformel nicht

a=
b=
c=

01.07.2012, 20:45

Bjoern1982

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Sieht leider alles ziemlich falsch aus.

a) die Funktionsschar liegt bereits in Scheitelpunktform vor, man muss den Scheitelpunkt nur noch ablesen.
Neben der Art der Öffnung kann man auch noch etwas zu Streckung bzw Stauchung sagen.

b) Für die Nullstellen setze wie immer gleich null und löse falls möglich nach x auf.

c) Du hast nicht konsequent mit a durchmultipliziert.

d) Ansatz ist $\begin{eqnarray*} f_{a_1}=f_{a_2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$

01.07.2012, 22:05

Christoph_1991

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Zitat:

Original von Dopap
am Anfang gefällt mir die Zuordnung der Fomparameter der Lösungsformel nicht

a=
b=
c=

Vielen Dank.

Richtige Zuordnung:

a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
b = 0
c = a

$\begin{eqnarray*} \frac{0\pm \sqrt{0-4*\frac{1}{a}*a} }{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$

D = -4 => nicht lösbar => KEINE NULLSTELLEN.

Zitat:

Original von Bjoern1982
a) die Funktionsschar liegt bereits in Scheitelpunktform vor, man muss den Scheitelpunkt nur noch ablesen.
Neben der Art der Öffnung kann man auch noch etwas zu Streckung bzw Stauchung sagen.

Wie kann ich den Scheitel daraus lesen?
Ich habe gelernt den Scheitel mit einer quadratischen Ergänzung oder mit den Nullstellen (Scheitelpunktformel) zu ermitteln.
Die Öffnung ist von a abhängig:

ist a negativ, ist die Zahl vor dem x² negativ und somit ist die Parabel nach unten geöffnet.

ist a positiv, ist die Zahl vor dem x² positiv => Parabel nach oben geöffnet.

Somit ist der Vorfaktor von a abhängig => weiß ich a nicht, kann ich keine Aussage treffen.

Zitat:

Original von Bjoern1982
Für die Nullstellen setze wie immer gleich null und löse falls möglich nach x auf.

Siehe berichtigte Version oben.

c)

Neuer Vorschlag:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x²+a = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x²+a -2x = 0 \end{eqnarray*}$

a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
b = -2
c = a
$\begin{eqnarray*} \frac{2\pm \sqrt{4-4*\frac{1}{a}*a } }{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$

D = 4 - 4 => 0

x1/2 = $\begin{eqnarray*} \frac{2\pm 0}{\frac{2}{a} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1}*\frac{a}{2} = \frac{2a}{2}= a \end{eqnarray*}$

Somit ist der Berührpunkt a. Meiner Meinung nach ist das aber ebenfalls nicht richtig, weil ich keine Koordinaten habe. Wo liege ich falsch?

Zitat:

Original von Bjoern1982
Ansatz ist

Darf ich dann a1 und a2 irgendeinen Wert zuweisen?

quasi:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}x²+1 = \frac{1}{2}x²+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}x²-\frac{1}{2}x²-2+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2}x²-\frac{1}{2}x²-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x²-1 = 0 \end{eqnarray*}$ | : 0,5

x²-2 = 0
x² = 2
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Berührpunkt = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe so war es richtig :-). Vielen Dank für Eure Hilfe!

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