Die kte Wurzel aus n ist irrational

02.07.2012, 08:41

misaki

Die kte Wurzel aus n ist irrational

Hallo, habe mal wieder einen Beweis den ich nur teilweise verstehe, den ich aber gerne vollständig verstehen würde.

Die kte Wurzel aus n ist irrational (sofern n nicht eine kte Potenz ist)

Angenommen $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[k]{n} =\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ dann ist auch x^2,x^3, ... x^(k-1) rational.

Sei e = b^(k-1) dann sind die ex, ex^2,ex^3,...,ex^(k-1) aus den natürlichen Zahlen. Wir wählen das Minimum d davon (Prinzip des kleinsten Elements)

Sei m die größte ganze Zahl <= x
m <= x < m+1
dann folgt weil x nicht die k-te Potenz ist dass
m < x < m+1

Wir betrachten nun d' = (x-m)*d woraus folgt dass d' < d ist

Und das ist (angeblich, den schritt hier verstehe ich nicht) ein widerspruch dazu, dass d minimal ist.

02.07.2012, 11:38

Math1986

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RE: Die kte Wurzel aus n ist irrational

Zitat:

Sei m die größte ganze Zahl <= x
$\begin{eqnarray*} m \leq x < m+1 \end{eqnarray*}$
dann folgt weil x nicht die k-te Potenz ist dass
$\begin{eqnarray*} m < x < m+1 \end{eqnarray*}$

Das ist also klar soweit?

Weiter
$\begin{eqnarray*} x < m+1 \Rightarrow x-m<1 \end{eqnarray*}$

Dann
$\begin{eqnarray*} d' = (x-m)*d<d \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} d' <d \end{eqnarray*}$ , uns das steht im Widerspruch zur Wahl von d als kleinstem Element.

02.07.2012, 11:56

miiiisakii

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Ja das habe ich verstanden und auch warum d'<d folgt aber warum das ein widerspruch sein soll ist mir unklar, denn d ist ja nur das kleinste Element.obiger Menge und ich sehe da keinen Zusammenhang zu d'

02.07.2012, 12:03

HAL 9000

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Da muss ich miiiisakii zustimmen: Woher weiß man, dass die per $\begin{eqnarray*} d'=(x-m)d \end{eqnarray*}$ konstruierte Zahl ebenfalls unter $\begin{eqnarray*} ex,ex^2,\ldots,ex^{k-1} \end{eqnarray*}$ zu finden ist, denn sonst funktioniert der Widerspruch ja nicht! unglücklich

Meine Vermutung ist, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ in Wahrheit anders konstruiert wird, als hier

Zitat:

Original von misaki
Sei e = b^(k-1) dann sind die ex, ex^2,ex^3,...,ex^(k-1) aus den natürlichen Zahlen. Wir wählen das Minimum d davon (Prinzip des kleinsten Elements)

beschrieben wird - bitte nochmal genau nachlesen. verwirrt

02.07.2012, 12:08

miiiisakii

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Ja stimmt es wird ein wenig.anders definiert und jetzt leuchtet mjr das auch ein:

d=min{e aus N / ex, ex^2,... Aus N}

Und die d'x Prost

sind auch ganzzahlig

02.07.2012, 13:02

HAL 9000

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Ja es funktioniert, aber so vage aufgeschrieben muss man ganz schön rumrätseln, bis man es raushat. Falls andere auch so begriffsstutzig sind wie ich, hier mal die aufbereitete Variante im Mittelteil:

Man betrachtet eine Menge $\begin{eqnarray*} E = \left\{ e\in\mathbb{N} \bigm| ex,ex^2,\ldots,ex^{k-1}\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} b^{k-1}\in E \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ nichtleer und besitzt damit ein Minimum $\begin{eqnarray*} d=\min E \end{eqnarray*}$ .

Für die so definierte Zahl $\begin{eqnarray*} d'=(x-m)d \end{eqnarray*}$ gilt nun

$\begin{eqnarray*} d'x^j = dx^{j+1}-m\cdot dx^j \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq k-1 \end{eqnarray*}$ ,

was aus $\begin{eqnarray*} d\in E \end{eqnarray*}$ sowie für $\begin{eqnarray*} j=k-1 \end{eqnarray*}$ auch aus $\begin{eqnarray*} x^k = n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ folgt. Somit ist auch $\begin{eqnarray*} d'\in E \end{eqnarray*}$ , und der erwähnte Widerspruch greift.

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