Wahrscheinlichkeitsdichte

02.07.2012, 13:54

MatheMZ

Wahrscheinlichkeitsdichte

Könnt ihr mir helfen? Danke.

Sie vermuten, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Größe L einer Pflanze qualitativ wie f(l) = A - beta * l mit beta > 0 verläuft.
a) In welchem Bereich darf L liegen und wie muss A gewählt werden, damit f tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Pflanzenlänge in Abhängigkeit von beta.

Ich habe leider keine Ahnung zu a), b) wird dann sicherlich so gehen.

02.07.2012, 13:59

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsdichte
Wie ist denn eine Wahrscheinlichkeitsdichte definiert?

02.07.2012, 14:46

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Dichte zur Beschreibung einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Integration ergibt die Wahrscheinlichkeit.
Ich verstehe es leider immer noch nicht.

02.07.2012, 14:50

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte schlage die Definition einer Wahrscheinlichkeitsdichte nach.
Welche Eigenschaften hat eine solche?

02.07.2012, 15:07

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichte muss 1 sein.
Muss L also >= 0 sein
irgendwie müssen l und A in Beziehung stehen?

Danke dir.

02.07.2012, 15:09

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheMZ
Also die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichte muss 1 sein.

Genau. außerdem muss eine Wahrscheinlichkeitsdichte (fast überall) positiv sein.

02.07.2012, 15:11

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von MatheMZ
Also die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichte muss 1 sein.

Genau. außerdem muss eine Wahrscheinlichkeitsdichte (fast überall) positiv sein.

Also muss A größer sein als l? deutlich größer?

02.07.2012, 15:13

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheMZ
Also muss A größer sein als l? deutlich größer?

$\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist doch dein Funktionsparameter, in welchem Bereich sollte dieser sinnvollerweise liegen?

02.07.2012, 15:16

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} l \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

02.07.2012, 15:21

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und weiter? Versuch doch einfach mal, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty f(l)dl \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

02.07.2012, 15:41

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A \cdot l - 0,5 \cdot ~\beta \cdot l² = 1 \end{eqnarray*}$

und dann nach 0 auflösen und durch 0,5~\beta teilen und dann pq-Formel...
aber dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} l_{1/2}=A \cdot ~\beta +/- (A² \cdot ~\beta² -2~\beta)^{0,5} \end{eqnarray*}$

?

02.07.2012, 21:43

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so funktioniert das nicht unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(l) = A - \beta \cdot l \end{eqnarray*}$

Diese Funktion muss, wie von mir schonmal erwähnt, nicht-negativ sein, also $\begin{eqnarray*} f(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} A - \beta \cdot l \geq 0\Rightarrow A \geq \beta \cdot l\underbrace{\Rightarrow}_{\beta> 0} \frac A\beta \geq l \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist also nur für $\begin{eqnarray*} l\in \left[0,\frac A\beta\right] \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Funktion muss nun in diesem Intervall ein Integral von 1 haben.

02.07.2012, 23:19

MatheMZ

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen Dank.
Der Erwartungswert sich jetzt aber komisch aus: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot \frac{A³}{~\beta³} \end{eqnarray*}$
Wieder was falsch gemacht?

03.07.2012, 07:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast schon wieder einen Schritt übersprungen:

Zitat:

Original von MatheMZ
a) In welchem Bereich darf L liegen und wie muss A gewählt werden, damit f tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

Mach doch erstmal das - wie groß ist jetzt dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeitsdichte

Verwandte Themen