ähnliche matrizen

30.01.2007, 14:51	jonnybo.	Auf diesen Beitrag antworten »
ähnliche matrizen hallo, ich habe 2 matrizen A,B aus Mat(nxn, K) und ein polynom f aus K[X]. ich soll jetzt zeigen: (i) wenn A und B ähnlich sind, dann sind auch f(A) und f(B) ähnlich. (ii) ein beispiel dass die umkehrung von (i) nicht gilt. ich soll dazu A und B nicht ähnlich angenben und ein polynom 2-ten grades, so dass f(A) und f(B) ähnlich sind. (iii) dann hab ich ein polynom f=X^2-4X+1. ich soll zeigen dass die matrizen $\begin{eqnarray} A_=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nich ählnlich sind. tja leider tu ich mich ein bisschen schwer mit der aufgaben... zu (i) ähnlichkeit heißt ja , dass ich B auch so ausdrücken kann. B = P − 1AP. nur wie ich dann daraus das geforderte zeigen soll weiß ich nicht. bei (iii) ist mir aufgefallen dass mir gar nicht klar ist wie da der zusammenhang ist. wie soll ich denn da das polymon nutzen?
30.01.2007, 17:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ ähnlich sind, existiert ja eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B = P^{-1} A P \end{eqnarray}$ Und jetzt betrachte Potenzen von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} B^0 = E = P^{-1} A^0 P \end{eqnarray}$ (Einheitsmatrix; gemäß Definition) $\begin{eqnarray} B^1 = B = P^{-1} A P = P^{-1} A^1 P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B^2 = P^{-1} A P \cdot P^{-1} A P = P^{-1} A^2 P \end{eqnarray}$ usw. Wie setzt sich das auf beliebige Polynome fort?

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