Volumen und Schwerpunkt R^3 (Kegel)

02.07.2012, 16:16

Potry

Volumen und Schwerpunkt R^3 (Kegel)

Meine Frage:
Ich soll das Volumen und den Schwerpunkt des Kegels berechnen
$\begin{eqnarray*} K = \left\{ x,y,z<R^2(1-\frac{z}{h})^2 , 0<z<h\right\} \end{eqnarray*}$
mit R,h>0 und Dichte konstant 1

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher ob ich einfach über die Volumenberechnung für Rotationskörper gehen kann, das wäre dann ja einfach
$\begin{eqnarray*} vol(K)=\pi \int_0^h \! R^2(1-\frac{z}{h})^2 \, dz \end{eqnarray*}$
oder ob ich da noch etwas anderes beachten muss.
Beim Schwerpunkt weiß ich leider gar nicht, wie ich da rangehen muss.

02.07.2012, 16:48

Potry

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Und schon der erste Tippfehler böse

fällt natürlich erst später und ohne richtigen pc auf Big Laugh

Es soll natürlich heißen (x,y,z) aus R^3 | x^2 +y^2 < ...

02.07.2012, 17:10

komplexer

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RE: Volumen und Schwerpunkt R^3 (Kegel)

Zitat:

Original von Potry
Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher ob ich einfach über die Volumenberechnung für Rotationskörper gehen kann, das wäre dann ja einfach
$\begin{eqnarray*} vol(K)=\pi \int_0^h \! R^2(1-\frac{z}{h})^2 \, dz \end{eqnarray*}$

Nein, das geht nicht. Beim Rotationskörper muss die Funktion die Randkurve des Körpers beschreiben. Die Wäre im Fall des Kegels eine Gerade.
Die Aufgabenstellung sieht so aus, als solltest Du das mittels einem Volumenintegral berechnen.

Zitat:

Original von Potry
oder ob ich da noch etwas anderes beachten muss.

Du musst nichts beachten, ich empfehle Dir aber eine Transformation in passende Koordinaten.

Zitat:

Original von Potry
Beim Schwerpunkt weiß ich leider gar nicht, wie ich da rangehen muss.

Da hilft ein Blick ins Buch/Skript/Internet. Da steht wie der Schwerpunkt definiert ist.

02.07.2012, 19:19

Potry

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ok, also ich denke mal ich mache das volumenintegral dann am besten in zylinderkoordinaten, also mit $\begin{eqnarray*} dV=r dr d\phi dz \end{eqnarray*}$
Die integrationsgrenzen wären ja $\begin{eqnarray*} 0<\phi<2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<z<h \end{eqnarray*}$ .
aber wie ist die für r?
durch $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<R^2(1-z/h)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich ja einen entsprechenden kreis gegeben, aber wie übertrage ich den als grenzen für meine integration?

02.07.2012, 19:34

Dopap

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RE: Volumen und Schwerpunkt R^3 (Kegel)

Zitat:

ich denke, das ist in Ordnung. Die Randgerade (-funktion) wurde nur quadriert.

und Der Schwerpunkt ist dann $\begin{eqnarray*} z_s=\frac {\pi \int_0^h \! z R^2(1-\frac{z}{h})^2 \, dz} {vol_K} \end{eqnarray*}$

Der Zähler ist das Volumendrehmoment. Das Ganze kommt ohne Koordinatentransformatiom aus.
R^2 und Pi müssten kürzbar sein.

02.07.2012, 20:01

komplexer

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Zitat:

Original von Potry
aber wie ist die für r?
durch $\begin{eqnarray*} x^2+y^2<R^2(1-z/h)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich ja einen entsprechenden kreis gegeben, aber wie übertrage ich den als grenzen für meine integration?

r kann schonmal per Definition nicht kleiner als 0 sein, 0 kann es aber annehmen, also ist die untere Grenze 0. Die obere ist gegeben (abhängig von z).
Du musst nur noch x und y durch die entsprechende Transformation für Zylinderkoordinaten ersetzen.

02.07.2012, 20:21

Potry

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Ich bekomme auf beide arten das gleiche ergebnis raus smile

$\begin{eqnarray*} vol(K)=\frac{1}{3}\pi h R^2 \end{eqnarray*}$
deckt sich ja mit dem bekannten volumen für einen kegel.
Als Schwerpunkt bekomme ich dann
$\begin{eqnarray*} z_s=\frac{\frac{1}{12}\pi h^2 R^2}{\frac{1}{3}\pi h R^2}=\frac{1}{36}h \end{eqnarray*}$

02.07.2012, 20:42

Dopap

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Zitat:

Original von Potry
Als Schwerpunkt bekomme ich dann
$\begin{eqnarray*} z_s=\frac{\frac{1}{12}\pi h^2 R^2}{\frac{1}{3}\pi h R^2}=\frac{1}{36}h \end{eqnarray*}$

das sollte einen- rein physikalisch- stutzig machen.

02.07.2012, 21:23

Potry

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stimmt

ist mir auch schon aufgefallen ... ziemlich blöder rechenfehler Forum Kloppe

das ergebnis ist natürlich $\begin{eqnarray*} z_s=\frac{1}{4}h \end{eqnarray*}$

02.07.2012, 21:57

Dopap

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schön, dass du mit beiden Ansätzen zum selben Ergebnis kommst.
Aber, wie schon gesagt, bei solchen realen Fragen ist ein Ergebnis erst auch mal "gefühlsmässig" zu hinterfragen.

Aber auchz.B. $\begin{eqnarray*} z_s=\frac 13 h \end{eqnarray*}$ müsste noch leichte Irritation auslösen. Wink

02.07.2012, 21:59

Potry

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ja das ist richtig Augenzwinkern

... beim aufschreiben fiel mir auch auf wie unwahrscheinlich doch ein schwerpunkt eines kegels an dieser stelle ist Big Laugh

auf jeden fall vielen dank für die hilfe smile

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