Spur (A x B) = Spur (B x A)

02.07.2012, 16:21	Schnuffel001	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur (A x B) = Spur (B x A) Meine Frage: Seien A, B zwei quadratische Matrizen und die Spur definiert als die Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen. Weisen Sie nach, dass gilt: $\begin{eqnarray} <br /> Spur (A \cdot B) = Spur (B \cdot A) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Experimentell konnte ich es bereits anhand eines Beispiels zeigen. Aber mir fehlt die Idee wie ich einen allgemeinen Ansatz finden kann. Unter Wikipedia steht leider auch noch, dass diese Bedingung gilt. Kennt jemand einen Beweis? Vlt irgendwie so: $\begin{eqnarray} <br /> spur(A \cdot B) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=1}^n A_{ik} B_{ki} = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n B_{ki} A_{ik} = spur(B \cdot A)<br /> \end{eqnarray}$
02.07.2012, 16:54	Lordi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, so ungefähr... schreib dir halt zunächst einmal ausführlich hin, was $\begin{eqnarray} {A}\cdot{B} \end{eqnarray}$ bedeutet (Definition der Matrixmultiplikation), und da schreibst du dann noch die Definition der Spur "davor"... und dann formst du das ganze etwas um (vielleicht schaust du vorher noch, wo du hinwillst, machst also dasselbe zunächst für $\begin{eqnarray} {B}\cdot{A} \end{eqnarray}$ ) und arbeitest dich dann eben dorthin vor.

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