Rücksubstitution?

02.07.2012, 16:40

Cheftheoretiker

Rücksubstitution?

Hallo,

ich habe folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\sqrt{x^2+9}}dx \end{eqnarray*}$

Ich habe es mit $\begin{eqnarray*} x=3tan\theta \end{eqnarray*}$ substituiert und bin auf folgende Stammfunktion gekommen.

$\begin{eqnarray*} =sin\theta+c \end{eqnarray*}$

Wenn ich diesen Ausdruck nun rücksubstituieren möchte, müsste ich ja folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} x=3tan\theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}=tan\theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arctan\left(\frac{x}{3}\right) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ eingesetzt liefert mir es,

$\begin{eqnarray*} =sin(arctan\left(\frac{x}{3}\right))+c \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun mein Ergebnis bei Wolfram Alpha kontrollieren lasse, spuckt der mir als Ableitung

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} \end{eqnarray*}$ aus. Was habe ich denn falsch gemacht das plötzlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Zähler auftaucht? verwirrt

Viele Grüße, hangman! smile

02.07.2012, 17:07

riwe

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RE: Rücksubstitution?
substituiere

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}=t \end{eqnarray*}$

02.07.2012, 17:16

Cheftheoretiker

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RE: Rücksubstitution?
Dann erhalte ich doch

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}=tan\theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=tan\theta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \theta=arctan(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(arctan(t)) \end{eqnarray*}$

Ist doch genau das selbe? verwirrt

02.07.2012, 17:25

riwe

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RE: Rücksubstitution?
mein vorschlag lautet ja auch ganz anders

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}=t\neq tan\theta\to I=\int \! \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \, dt \end{eqnarray*}$

und das ist ein stammintegral aus meiner jugendzeit Augenzwinkern

(wird sich ja nicht viel geändert haben)

02.07.2012, 19:27

Cheftheoretiker

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RE: Rücksubstitution?
Schonmal danke riwe,
aber das beantwortet doch garnicht meine Frage... verwirrt

02.07.2012, 19:32

Helferlein

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Da deine berechnete Funktion keine Stammfunktion ist, kann doch wohl nur deine Rechnung falsch sein. Leider hast Du ja keine Rechnung dazu geschrieben, so dass man nicht nachvollziehen kann, wo dein Fehler liegt.
Ich vermute mal Du hast das Differential falsch oder gar nicht ersetzt.

02.07.2012, 19:47

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Helferlein
Da deine berechnete Funktion keine Stammfunktion ist, kann doch wohl nur deine Rechnung falsch sein. Leider hast Du ja keine Rechnung dazu geschrieben, so dass man nicht nachvollziehen kann, wo dein Fehler liegt.
Ich vermute mal Du hast das Differential falsch oder gar nicht ersetzt.

Oh Mann... Forum Kloppe

Das Nachrechnen hat sich gelohnt. Vielen Dank!

02.07.2012, 23:52

riwe

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RE: Rücksubstitution?

Zitat:

Original von hangman
Schonmal danke riwe,
aber das beantwortet doch garnicht meine Frage... verwirrt

naja, aber es scheint auch sinnlos, eine unsinnige substituition zu untersuchen, wenn der klare weg klar ist Augenzwinkern

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Rücksubstitution?

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