Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Gleichung

03.07.2012, 15:08

Andorra

Bedingte Wahrscheinlichkeiten - Gleichung

Meine Frage:
Hallo,
ich würde gerne herausfinden, ob die folgende Gleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} P(A|B) + P(A|C) = 1 \end{eqnarray*}$ , wobei C das Komplement von B ist und alle auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind.

Meine Ideen:
Zunächst kann ich mit der Voraussetzung, dass alle auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind, nichts anfangen, kann mir jemand evtl einen Tipp geben wofür das verwendet werden könnte ?
Ich habe versucht, die Richtigkeit der Gleichung durch Umformen mithilfe von $\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, aber leider ohne Erfolg... kann man das evtl. Argumentativ zeigen ?

über Tipps oder Hinweise würde ich mich freuen smile

03.07.2012, 16:22

HAL 9000

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Nein, das ist i.a. falsch: Als Beispiel betrachte $\begin{eqnarray*} A=\Omega \end{eqnarray*}$ sowie beliebiges $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<P(B)<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B) + P(A \bigm| C) = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$ ,

genauso ist im Fall $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B) + P(A \bigm| C) = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Kann es sein, dass du stattdessen

$\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A) + P(C \bigm| A) = 1 \end{eqnarray*}$

meinst - das wäre richtig.

03.07.2012, 17:22

Andorra

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Hey Hal9000,
danke für die Ausführung, ist mir etwas klarer geworden dadurch.

Zitat:

Kann es sein, dass du stattdessen

$\begin{eqnarray*} P(B \bigm| A) + P(C \bigm| A) = 1 \end{eqnarray*}$

meinst - das wäre richtig.

Das würde aber nur gelten, wenn A und B stochastisch unabhängig wären oder ?

03.07.2012, 19:25

HAL 9000

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Nein, das gilt generell.

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