Dualbasis

03.07.2012, 15:28	GlaC	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualbasis Hallo liebe Matheboarder Sei $\begin{eqnarray} a_1=1,a_2=i \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ich suche eine duale Basis vom Dualraum $\begin{eqnarray} \mathbb C^ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Meine Idee: Sei $\begin{eqnarray} b_1,b_2 \end{eqnarray}$ die duale Basis. $\begin{eqnarray} 1=b_1(a_1)=b_1(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=b_1(a_2)=b_1(i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=b_2(a_1)=b_2(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=b_2(a_2)=b_2(i) \end{eqnarray*}$ Weiter komme ich leider nicht. Mfg GlaC
03.07.2012, 16:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du suchst ja eigentlich $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -lineare Funktionen $\begin{eqnarray} b_1,b_2: \mathbb C\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , wobei hier $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ nur eine vornehme Ausdrucksweise für $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ darstellt. Jedes $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ kannst du schreiben als $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ . Was folgt dann wegen der Linearität zb für $\begin{eqnarray} b_1(x+iy) \end{eqnarray}$ daraus? Ähnlich für $\begin{eqnarray} b_2 \end{eqnarray}$ .
03.07.2012, 16:50	GlaC	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} b_1(x+iy)=b_1(x)+b_1(iy) \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich nicht, auf was du hinauswillst Mfg
03.07.2012, 17:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sind reell und die Abbildung ist $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -linear, also $\begin{eqnarray} b_1(iy)=? \end{eqnarray}$ . Für den ersten Term beachte $\begin{eqnarray} b_1(x)=b_1(x\cdot1)=? \end{eqnarray}$ .
03.07.2012, 17:10	GlaC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe verstanden $\begin{eqnarray} b_1(x+iy)=b_1(x)+b_1(iy)=xb_1(1)+yb_1(i)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2(x+iy)=b_2(x)+b_2(iy)=xb_2(1)+yb_2(i)=y \end{eqnarray}$
03.07.2012, 17:55	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau .
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