Zinseszinsrechnung: Exponent kleiner 1

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wc17 Auf diesen Beitrag antworten »
Zinseszinsrechnung: Exponent kleiner 1
Hallo,

viel verstehe ich davon nicht, deshalb staune ich über das Ergebnis:

Die Zinsen sollen vierteljährlich ausgezahlt werden, also rechne ich:
5000 * 3.3% / 4 = 41,25

Nun rechnet mir meine Bank aber die Zinsen so vor:
5000 *((( 1+3,3%)^(3/12))-1) = 40,75

Hier ist also die Zinseszins-Formel (reduziert auf die Zinsen) angewendet worden, das Ergebnis stimmt aber nicht überein.

Andererseits, wenn ich mit ganzen Exponenten (Jahren) rechne, so stimmt das Ergebnis wieder:
5000*3,3% = 165
5000*(((1+3,3%)^(1))-1) = 165

Wie erklärt sich das?

Vielen Dank für Hinweise.
wc17
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist meine Vermutung richtig, daß in Zinsrechnungen der Exponent nicht kleiner 1 werden darf, damit das Ergebnis wieder richtig wird?
 
 
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die unterschiedlichen Werte basieren darauf, dass du den durchschnittlichen Zins für das gesamte Jahr berechnest, die Bank dir jedoch den Zins für das erste Quartal vorrechnet. Wenn du ihre Rechung auf die Geldmenge des 2.Quartals anwendest, erhälst du ca. 41,08€ an Zinsen, für das 3.Quartal ca. 41.42€ und für das letzte Quartal ca. 41,75€. ich habe es für alle vier Quartale durchgerechnet, der Durchschnitt der erhaltenen Zinsen beträgt exakt 41,25€.
Ps. In der Klammer deiner zweiten Formel steht:, was den 3,3% in der ersten entspricht. Das erklärt wohl auch die Übereinstimmung Augenzwinkern .
Lg kgV
Wink
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Bank will mir den geringeren Betrag für alle Zinsperioden über alle Jahre so vergüten.

Ich habe in Wikipedia zwischenzeitlich eine Formel für "Unterjährige Verzinsung" gefunden, die meinen Erwartungen eher entspricht:

n - Anzahl der Jahre
k - Anzahl der Perioden
m - Anzahl der Zinsperioden im Jahr - hier z.B. 12 Monate / 3 Monate = 4
inom - nomineller Jahreszinssatz
irel - relativer Periodenzinssatz = inom / m
Ko - Anfangskapital

Kn,k = Ko * (1 + irel )^[n*m + k] für (k < m)

entsprechend für meine Zinsen pro Periode:

Zn,k = Ko * ((1 + irel)^[n*m + k] - 1)

Wenn ich das für meine Werte anwende, n = 0, k = 1, so komme ich auf die 41,25 , die ich mir vierteljährlich auszuzahlen vorgestellt hatte.

Da mir die Bank das Geld jeweils auszahlen will, fallen keine Zinseszinsen an, die Formel wäre dann

Zn,k = Ko * ((1 + [ n*m + k] * irel ) -1)

Aber das ist im Wikipedia ja alles viel besser erklärt, wenn es denn stimmt.

Viele Grüße
wc17
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

@ kgV

Was ist übrigens die Geldmenge des 2., 3. und 4. Quartals ?
Da komme ich gar nicht mit.

Viele Grüße
wc17
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist übrigens die Geldmenge des 2., 3. und 4. Quartals ?

Geldmenge für das 2.Quartal=5040,75 (5000+Zinsen)
Geldmenge für das 3.Quartal=5081,83 (5040,75 +Zinsen)
Geldmenge für das 4.Quartal=5123,24

Wenn ich deinen Post richtig interpretiere, handelt es sich um eine Art Festgeldanlage, auf die verteljährlich Zinsen ausgeschüttet werden, aber nur auf das Startkapital?
Die Zinsen werden dem Kapital dann nicht hinzugefügt, sondern auf ein anderes Konto oder in bar ausbezahlt?

Verstehe ich das richtig?
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist alles richtig.

Die Bank hat auf meine Beschwerde wegen der niedrigeren Zinsen mit der im ersten Post angegebenen Zinseszinsformel geantwortet.

Mein Standpunkt ist jetzt so:
Der Zinssatz wird üblicherweise pro Jahr angegeben - dann stimmen die Formeln.
Wenn ich nun die Zinsen für eine vierteljährliche Verzinsung berechnen will, so muß ich den Zinssatz entsprechend teilen und für n die Anzahl der Quartale einsetzen.
Also in meinem Fall: irel = 0,033 / 4 ; n = 1
Dann stimmen alle Formeln, ob einfache Verzinsung oder Zinseszins.

Ich bin auf diese Berechnungsweise nur eingegangen, weil die Bank mir mit der Zinseszins-Formel gekommen ist.

Es interessiert mich eigentlich mehr eine (mathematische) Begründung, warum der Exponent in Zins-Formeln nicht kleiner 1 werden darf.

Vielen Dank
wc17
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wenn die Bank auf ihrem Standpunkt beharrt, wird es schwer werden, dagegen anzukommen...

Zu deiner eigentlichen Frage: Der Exponent in Zinseszinsrechnungen darf kleiner als eins werden! Wenn die Zinssumme jeweils dem Kapital für die Verzinsung hinzugefügt wird, hat man am Ende das Selbe Ergebnis wie mit einer normalen Division stehen, wie ich es bereits in meinem ersten Post erklärt habe.
Für deinen Fall ist die Formel aber so nicht anwendbar, weil das Kapital für alle Quartale dasselbe ist. So "spart" die Bank in einem Jahr ganze 2€ auf deine Kosten ein
Lg
kgV
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Tja, wenn die Bank auf ihrem Standpunkt beharrt, wird es schwer werden, dagegen anzukommen...

Wobei...mir fällt grad ein, dass man ja damit argumentieren könnte, dass die Zinseszinsformel für ein gleichbleibendes Kapital nicht anwendbar ist, eben weil dadurch eine Benachteiligung des Kunden vorliegt. Sollte diese Art der Verzinsung vertraglich festgeschrieben sein, sehe ich keine Chance, ansonsten könnte man die Bank vlt. zum Einlenken bewegen. Sollte sie aber nicht nachgeben, bliebe nur ein kostspieliger Gang vors Gericht (und das für 2€???->Ja, was man aus Liebe zum Prinzip so alles macht)
Dafür wäre aber ein Rechtsanwalt zuständig und nicht ich Big Laugh
Lg
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorbemerkung

- Mir gefällt es nicht, wenn man mir vorhält, ich möge doch nicht so kleinlich sein, es ginge doch nur um diesen kleinen Betrag!
- Ich antworte immer darauf: gut, gib mir den Betrag, dann reden wir nicht mehr darüber. Leider verzieht der andere dann nur das Gesicht, als hätte er plötzlich Zahnschmerzen.
(Das nenne ich immer ein Spiegel-Argumnet.)

- Mir gefällt es auch nicht, wenn man über folgendes redet:
- Das Produkt x erbringt 2,5677% Zinsen (es sind tatsächlich so viele Stellen hinter dem Komma angegeben).
- Das Produkt y erbringt 3,30% Zinsen - auch hier steht es so auf dem Papier, mit der Null hintendran.
- Und wenn ich das Produkt y dann nachrechne, dann sind es 3,26% -
hätten sie gesagt 3,3% könnte man sagen, na, ja ...

- Außerdem, es kommt immer darauf an, wie viele Stellen bei Ko denn vor dem Komma stehen !

Aber das gehört alles nicht in dieses Forum.


Zum Angebot der Bank:
Festgeld zu 3,30% über x Jahre, vierteljährliche Auszahlung der Zinsen. Wie kommt die Bank dann dazu diese Formel anzuwenden:
Z = Ko * (((1+3,3%)^(3/12))-1)
Zn = Ko * ((1 + i)^n -1) also eine Zinseszinsformel, obwohl das gar nicht zutrifft?

Wieso kommt sie auf die Idee, n aufzuteilen und nicht i ?
Also irel = inom / m (mit m = 12 Monate / 3 Monate = 4, also ein Vierteljahr) und n bleibt ganzzahlig also n = 1 (ein Vierteljahr)?
Mit diesen Werten würde ja auch bei Anwendung der Zinseszinsformel das richtige Ergebnis errechnet.

Gibt es einen Grund, der sich aus der Programmierung ergibt?
Also vereinfacht sich der zu programmierende Algorithmus oder läßt der sich universeller anwenden?

Einige Überlegungen:
- Voraussetzung: der Algorithmus berücksichtigt Jahre und Monate, bei Tagen müßte man sich noch
über 360 oder 365 Tage oder die tatsächlichen Tage im Jahr streiten.
- Konvention: p bezieht sich auf ein Kalenderjahr
- Eingaben: Ko, p (Prozentsatz), Zp (Zinsperiode im Jahr: monatlich, vierteljährlich, halbjährlich, jährlich),
J (Anzahl der Jahre): 0 - unterjährig, das heißt im ersten Jahr
k (Anzahl der Zinsperioden im Jahr)

Der Algorithmus der Bank
- Zuweisungen:
i = p/100; Zp(in Monaten); monatlich: Zp = 1; vierteljährlich: Zp = 3; halbjährlich: Zp = 6;
jährlich: Zp = 12; n = Zp/12

- die Bank setzt in ihre Formel ein: Ko; i; n; und kommt für:
monatlich, vierteljährlich, und halbjährlich zum falschen Ergebnis für den Fall keine Zinseszinsen.
Für den Fall Zinseszinsen muß die Formel mehrfach durchlaufen werden und Ko um die jeweils vorher
angefallenen Zinsen erhöht werden.

Der andere Algorithmus
- Zuweisungen:
Zp(in Monaten); monatlich: Zp = 1; vierteljährlich: Zp = 3; halbjährlich: Zp = 6; jährlich: Zp = 12;
m = 12/Zp; i = irel = p / (100 * m); n = J*m + k, für k < m; für k = m -> k = 0; J = J +1

Der Algorithmus berechnet die Zinseszinsen für J Jahre und k Perioden im Jahr

Die Zinsen für Zp berechnen: J = 0; k = 1

Die Zinseszinsen nacheinander berechnen: Schleife über J und k

Die Zinsen nacheinander berechnen: Schleife über J und k mit der abgewandelten Formel
Zn = Ko * ((1 + i)*n -1) (also nur Multiplikation mit n)

Der erhöhte Aufwand deckt, so meine ich, mehr Fragen korrekt ab.

Das reicht mir jetzt aber auch --- sonst wird der kleine Betrag zu teuer. (Weiß der Geier ob alles stimmt.)

Vielen Dank.
wc17
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mir gefällt es nicht, wenn man mir vorhält, ich möge doch nicht so kleinlich sein, es ginge doch nur um diesen kleinen Betrag!


War so nicht meine Absicht, entschuldige bitte smile

Ich frage mich auch, ob man die Zinseszinsformel so anwenden darf (siehe mein voriger Post). Die Bank weiß das vermutlich auch, nur ist es für sie vorteilhafter, es zu ignorieren, weil sie ja dabei spart.

Zitat:
Der erhöhte Aufwand deckt, so meine ich, mehr Fragen korrekt ab.

Auch dabei stimme ich dir zu.

Wie ich aber schon gesagt habe:
Zitat:
Tja, wenn die Bank auf ihrem Standpunkt beharrt, wird es schwer werden, dagegen anzukommen...


Lg
kgV
wc17 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles Ok
Viele Grüße.
wc17
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Glück ncoh, wer weiß, vieleicht lenkt die Bank ja doch ein
*Daumendrück*
Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bank rechnet völlig korrekt:

Wenn sie von einem effektiven Jahreszinssatz von 3.3% spricht, dann aber doch vierteljährlich Zinsen auszahlt (die ja zur Wiederverzinsung erneut angelegt werden könnten), dann muss sie korrekterweise mit einem vierteljährlichen Zins von



die Anlage verzinsen.


Es gibt Banken (z.B. meine Hausbank), die das anders handhaben:

Die arbeiten tatsächlich mit linearer unterjähriger Verzinsung, so wie du es dir ja ausgerechnet hast, aber jetzt kommt der gewaltige Pferdefuß: Nach Beendigung der vierteljährlichen Anlage bekommst du zwar das Anlagekapital sofort zurück, die Zinsen werden dir aber erst am Jahresende gutgeschrieben!!! Das verhindert die Neuanlage dieser Zinsen im selben Jahr unter Mitnahme eines unterjährigen Zinseszinseffekts. Diese Methode meiner Hausbank zeigt also allenfalls gegen Jahresende, also bei Geldanlagen im dritten bzw. vierten Quartal leichte Vorzüge. Augenzwinkern

Am Ende werden aber solche Effekte eh völlig aufgefressen (und mehr als das) durch Tricksereien der Banken mit Zinsdauer vs. tatsächlicher Rückbuchung (ein, zwei Werktage sind da locker drin). Da gehen durch eine solche Zinseszinsstrategie evtl gewonnene Promille (besser: ppm) völlig den Bach runter.

P.S.: Am tollsten finde ich immer noch Sprüche wie "Bis zu blablabla Prozent garantiert", die sind so herrlich unverbindlich. Big Laugh
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