Die Geschichte der Gammafunktion

03.07.2012, 17:52

MaPhManni

Die Geschichte der Gammafunktion

Hey Community,

ich bereite mich momentan, obwohl bzw. eben weil Ferien sind, auf meine besondere Lernleistung im Fach Mathematik für das nächste Schuljahr vor. Die Lernleistung wird grob von der Gammafunktion handeln - ein genaues Thema erarbeite ich mir in den sechs freien Schulwochen smile

Nun aber das interessante Problem. In dem Skript von Ernst Albrecht (Verweis) auf Seite 4 steht das folgende Integral beschrieben :

$\begin{eqnarray*} f(p,q) = \frac{1}{\int_0^1 \! (1-x^\frac{1}{p})^q \, dx } = \frac{p+q}{p! q!} \end{eqnarray*}$

Natürlich bin ich mir im Klaren, dass ich mich bei der Lernleistung stark ins Zeug legen kann und auch muss, aber hat jemand von euch einen Tipp, wie ich diesen Ausdruck beweisen kann?! Die Substitution mit $\begin{eqnarray*} 1-x^\frac{1}{p} = u \end{eqnarray*}$ bringt mich gerade auch nicht allzu weit.

LG, Manuel!

03.07.2012, 18:27

system-agent

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Wende auf $\begin{eqnarray*} (1-x^{\frac{1}{p}})^q \end{eqnarray*}$ die binomische Formel an, dann kannst du integrieren.

03.07.2012, 19:28

Mystic

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RE: Die Geschichte der Gammafunktion

Zitat:

Original von MaPhManni
Nun aber das interessante Problem. In dem Skript von Ernst Albrecht (Verweis) auf Seite 4 steht das folgende Integral beschrieben :

$\begin{eqnarray*} f(p,q) = \frac{1}{\int_0^1 \! (1-x^\frac{1}{p})^q \, dx } = \frac{p+q}{p! q!} \end{eqnarray*}$

Meiner Ansicht nach muss es

$\begin{eqnarray*} f(p,q) = \frac{1}{\int_0^1 \! (1-x^\frac{1}{p})^q \, dx } = \frac{(p+q)!}{p! q!} ={\binom{p+q}q} \end{eqnarray*}$

heißen... Ich habe zum Beweis partielle Integration angewandt, wobei ich die folgende Zordnung

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \underbrace{(1-x^\frac{1}{p})^q}_u \underbrace{1}_{v'}\, dx \end{eqnarray*}$

verwendet habe um auf eine einfache Rekursion zu kommen...

Edit: Was mich an der Formel fasziniert, ist die unerwartete Symmetrie zwischen p und q...

04.07.2012, 11:34

MaPhManni

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Vielen Dank für eure Antworten! Ich werde mich heute einmal ransetzen und ein wenig an den Formeln herumbasteln. Vielleicht gelingt es mir ja sogar, hehe smile

Wenn nicht, dann melde ich mich eben noch einmal Hammer

04.07.2012, 11:56

HAL 9000

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Im Zusammenhang zu $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \left(1-x^{\frac{1}{p}}\right)^q ~ \dd x \end{eqnarray*}$ sollte vielleicht noch das Stichwort Betafunktion nicht fehlen, denn nichts anderes entsteht ja nach der naheliegenden Substitution $\begin{eqnarray*} x=t^p \end{eqnarray*}$ .

04.07.2012, 12:30

MaPhManni

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Danke HAL 9000. Es ist verblüffend wie offensichtlich die Betafunktion ist, wenn man erst einmal eine richtige Substitution gefunden hat. Mal schauen wie ich es später in meiner Arbeit einbauen kann!

Nun aber nochmals zum Ursprünglichen. Ich habe folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (1-x^\frac{1}{p})^q \, dx = \int_0^1 \! \sum\limits_{k=0}^q \begin{pmatrix} q \\ k \end{pmatrix} \cdot x^\frac{k}{p} \cdot (-1)^k \, dx = \sum\limits_{k=0}^q \begin{pmatrix} q \\ k \end{pmatrix} \cdot \frac{(-1)^k \cdot p}{k+p} \end{eqnarray*}$

Doch wie beweise ich nun, dass der letzte Term das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} \frac{\Gamma(p+1) \cdot \Gamma(q+1)}{\Gamma(p+q+1)} \end{eqnarray*}$ ?! Ich stehe wahrscheinlich wegen der alternierenden Summe auf dem Schlauch verwirrt

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