n-te Wurzel - Reihenentwicklung

03.07.2012, 19:31	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
n-te Wurzel - Reihenentwicklung Hallo, Um zu zeigen dass $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray}$ Soll man ein sogenanntes "Vergleichskriterium" anwenden: $\begin{eqnarray} 1 \leq \sqrt[n] n \leq 1 + \dfrac {2}{\sqrt n} \end{eqnarray}$ Dabei gilt die rechte Ungleichung wegen $\begin{eqnarray} 1 \leq n \leq 1 + n \cdot \dfrac{2}{\sqrt n} + \dfrac {n \cdot (n-1)}{2} \cdot \dfrac 4 n \cdots \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht wohr diese Reihenentwicklung kommt? Binomischer Lehrsatz? Ich habe es versucht anzuwenden, es kam aber nicht vernünftiges bei raus. Kann mir jemand sagen welche Reihenentwicklung angewendet wurde? Ich komm einfach nicht drauf ...
03.07.2012, 20:20	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-te Wurzel - Reihenentwicklung Die Abschätzung folgt aus dem binomischen Lehrsatz. Für $\begin{eqnarray} n\geq 2\text{ und }x>0 \end{eqnarray}$ gilt nämlich: $\begin{eqnarray} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k=1+nx+{n\choose 2}x^2+\ldots+x^n\geq{n\choose 2}x^2\geq\frac{(nx)^2}4. \end{eqnarray}$ In der gewonnenen Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^n\geq\frac{(nx)^2}4 \end{eqnarray}$ setze nun $\begin{eqnarray} x=\sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray}$ und folgere $\begin{eqnarray} 1\leq\sqrt[n]{n}\leq 1+\frac 2{\sqrt{n}}. \end{eqnarray}$
03.07.2012, 22:08	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-te Wurzel - Reihenentwicklung Puh... Danke, gar nicht so einfach ....

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