Zahlendreher

04.07.2012, 12:01

Der Boss

Zahlendreher

Meine Frage:
Gerade in der Mathearbeit eine Interessante Frage.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

"Beweist oder widerlegt die folgende Aussage: Es ist möglich, eine dreistellige Ausgangszahl durch Vertauschen der Zehner- und Einerziffern so zu verwandeln, dass das Vierfache der Ausgangszahl das Dreifache der zweiten Zahl ergibt."

Danke schon mal smile

MfG

Meine Ideen:
Keine Ahnung unglücklich

04.07.2012, 12:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Der Boss
Gerade in der Mathearbeit

Na dann warten wir vielleicht noch bis heute abend. Augenzwinkern

04.07.2012, 13:36

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlendreher
Wir unterstützen hier keine Hilfe während einer Klausur!
Siehe Prinzip "Mathe online verstehen!"

In Bezug auf den Vorschlag von HAL 9000 wird das Thema bis heute Abend vorrübergehend geschlossen.

04.07.2012, 21:08

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlendreher
Habe den Thread wieder geöffnet, die Klausur ist nun gewiss vorüber.

04.07.2012, 21:49

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Fall, dass sich der TE nicht mehr meldet, wäre ich daran interessiert diese Aufgabe mit euch zu bearbeiten.

smile

04.07.2012, 22:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann leg doch mal vor.

04.07.2012, 23:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob hier ein strenger mathematischer Beweis gefordert ist, weil ich davon erstmal kaum Ahnung habe. Aber ich habe mir folgendes überlegt.

Wir haben eine dreistellige Zahl:

$\begin{eqnarray*} 100x+10y+z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{N}..... \text{ohne} \{0\} \end{eqnarray*}$ *

Ich gehe hier mal davon aus, dass Null eine natürliche Zahl ist. Das heißt ja doch überall anders. Mal ist sie natürlich mal wieder nicht. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} y, z \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

außerdem muss

$\begin{eqnarray*} z>y \end{eqnarray*}$ sein, da ja sonst das vertauschen nichts ändern würde.

Dann werden jetzt 10-er und 1-er Stelle vertauscht.

4(100x+10y+z)=3(100x+10z+y)

Forme ich das ein wenig um erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 100x+37y=26z \end{eqnarray*}$

Da x nicht Null sein kann muss z schon mal größer als 4 sein, würde ich jetzt sagen, da man sonst ja auf kein vergleichbares Ergebnis kommen kann.

Des Weiteren sieht man, dass die 37 eine Primzahl ist.

Und jetzt habe ich mir ein paar Tricky Gedanken gesponnen. Big Laugh

Und zwar müssten 100x+37y ja durch dieses z teilbar sein. Da nun 37 eine Primzahl ist wäre das erste teilbare Vielfache ja 37*26=962
Wenn ich da jetzt minimal 100 zu addiere wäre es unteranderem keine 3 stellige Zahl mehr.

Also würde ich sagen, dass dies nicht geht. Wie man sowas jedoch schön zeigt und ob meine Gedanken wenigstens im Ansatz den Kern treffen, weiß ich nicht.

smile

Edit:

* hier könnte ich es leider nicht schöner dar stellen. Der "\" um das "ohne" zu verdeutlichen ist mir leider nicht gelungen. So musste ich darauf zurück greifen.

04.07.2012, 23:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis einschließlich hier

Zitat:

Original von Gmasterflash
Und zwar müssten 100x+37y ja durch dieses z teilbar sein.

kann ich alles unterschreiben. Dann aber wird's holprig:

Zitat:

Original von Gmasterflash
Da nun 37 eine Primzahl ist wäre das erste teilbare Vielfache ja 37*26=962.

Es wird nicht gefordert, dass $\begin{eqnarray*} 37y \end{eqnarray*}$ durch 26 teilbar ist, sondern nur, dass $\begin{eqnarray*} 100x+37y \end{eqnarray*}$ durch 26 teilbar ist. Womöglich gibt es ja ein kleines $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (x=1 oder x=2) sowie ein ebenfalls niedriges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , so dass diese Teilbarkeit doch erfüllt ist - diese Möglichkeit hast du mit deiner Argumentation nicht entkräftet.

04.07.2012, 23:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist mir gerade beim nochmaligem lesen auch ins Auge gesprungen.

Leider habe ich jetzt so keine Ideen mehr.

Diese Aufgabe ist aber schon mit den Mitteln der Schulmathematik lösbar, oder?

Edit: Ist das mit der Teilbarkeit ein zielführender Gedanke?

04.07.2012, 23:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash
Diese Aufgabe ist aber schon mit den Mitteln der Schulmathematik lösbar, oder?

Na klar doch - und wenn man alle 900 Varianten durchprobiert: Das wäre auch eine Lösung, wenn auch keine sehr elegante. Aber schon mit kleinen Überlegungen kann man diese Anzahl wirksam reduzieren.

Teilbarkeit ist auf alle Fälle ein richtiger Gedanke, um das Problem eleganter anzugehen.

04.07.2012, 23:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

und wenn man alle 900 Varianten durchprobiert

Dar durch, dass $\begin{eqnarray*} z\geq 4 \end{eqnarray*}$ sein muss und z > y

Habe ich die Anzahl der möglichen Kombinationen ja bereits auf

9*6*4=216 verringert. Big Laugh

Ok da kommt mir gerade noch ein Gedanke. Und zwar muss die Summe von 100x+37y ja gerade sein, damit sie durch die 26 teilbar wären.

Die vielfache von 100 ändern daran nichts. Das heißt y muss eine Gerade Zahl sein.

Hätten wir also noch

9*3*3=81 Möglichkeiten

04.07.2012, 23:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt viele Wege, die hier nach Rom führen. Ich stelle mal schnell noch meinen vor, bevor ich mich in die Nacht verabschiede:

Ich weiß nicht, inwieweit du mit Modulo-Rechnung vertraut bist, aber mit der könnte man so schließen:

Aus $\begin{eqnarray*} 100x+37y = 26z \end{eqnarray*}$ folgt modulo 13 die Kongruenz

$\begin{eqnarray*} -4x - 2y \equiv 0\bmod 13 \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt $\begin{eqnarray*} y\equiv -2x\bmod 13 \end{eqnarray*}$ . Nun wissen wir wegen $\begin{eqnarray*} 100x \leq 26y\leq 26\cdot 9 = 234 \end{eqnarray*}$ , dass nur $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ möglich ist.

1.Fall: $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} y\equiv -2\bmod 13 \end{eqnarray*}$ , das ist für $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 9 \end{eqnarray*}$ nicht erreichbar.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} y\equiv -4\bmod 13 \end{eqnarray*}$ , das führt zu $\begin{eqnarray*} y=9 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} 100x+37y = 533 \end{eqnarray*}$ ist bereits zu groß für das rechts bei $\begin{eqnarray*} 26y \end{eqnarray*}$ maximal erreichbare 234.

Demnach gibt es keine Lösung.

P.S.: Man kann das ganze auch ohne Modulo schreiben, wenn man die obige Ausgangsgleichung zu

$\begin{eqnarray*} 13(8x+3y-2z) = 2(2x+y) \end{eqnarray*}$

umschreibt und so feststellt, dass (2x+y) durch 13 teilbar sein muss.

EDIT: Mir fällt gerade noch ein, da y ja gerade sein muss, geht es noch viel schneller - dann muss ja wegen

$\begin{eqnarray*} 13(8x+3y-2z) = 4\left(x+\frac{y}{2}\right) \end{eqnarray*}$

ja auch $\begin{eqnarray*} x+\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ durch 13 teilbar sein, was wegen $\begin{eqnarray*} 1 = 1+0 \leq x+\frac{y}{2} \leq 2+4 = 6 \end{eqnarray*}$ unmöglich ist. Augenzwinkern

04.07.2012, 23:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Modulo-Rechnung so habe ich noch nicht gerechnet. Ich kenne aber ungefähr den Gedanken dahinter und weiß annähernd was damit gemeint ist.

Wie man jedoch auf diese Kongruenzen kommt (ich weiß, dass es irgendwas mit Restklassen glaubig zu tuen hat), weiß ich nicht.

Danke jeden Falls für die Lösung und Hilfe.

Auf die Umformung:

13(8x+3y-2z)=2(2x+y)

muss man auch erstmal kommen. Big Laugh

Gute Nacht.

Wink

05.07.2012, 00:25

carm561

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Ausgangsgleichung auch als $\begin{eqnarray*} 37(2x+y)=26(z-x) \end{eqnarray*}$ schreiben. Da $\begin{eqnarray*} x, z \end{eqnarray*}$ Ziffern sind, sucht man auf der rechten Seite vergeblich nach der 37 Augenzwinkern

Natürlich ist das nur eine Variante des Weges nach Rom, den HAL 9000 schon vorgeschlagen hat.

05.07.2012, 07:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 37(2x+y)=26(z-x) \end{eqnarray*}$ sieht natürlich noch schöner aus. Freude

05.07.2012, 09:13

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Schande über euch für eure Komplettlösung ohne Eigenarbeit des Fragestellers. geschockt

Aber mal unabhängig davon: Ich behaupte mal, dass diese Aufgabe um diese Uhrzeit nur einmal im deutschsprachigen Raum gestellt wurde.
Leider wird es wohl unmöglich sein, den Übeltäter aus der Klasse zu ermitteln und ihm wegen Internetnutzung während der Klausur die verdiente 6 zu erteilen.

Für ersteres sollte man jedoch die Lehrer sensibilisieren, wenn sie für zweiteres vielleicht einen Hinweis (zum Beispiel eine Toilettenliste mit Uhrzeiten) haben, gibt es die verdiente Note.

05.07.2012, 09:27

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zellerli
Schande über euch für eure Komplettlösung ohne Eigenarbeit des Fragestellers. geschockt

Naja, ich denke mal, den Fragesteller hat die (von uns für ihn aufgeschriebene) Lösung der Aufgabe nur während seiner Klausur interessiert. Die hat er natürlich nicht bekommen.

Er hat sich gestern nicht mehr gemeldet, daher sollte es kein Problem sein, wenn die Aufgabe abends dann von interessierten Mitgliedern besprochen wurde.

smile

Neue Frage »

Antworten »

Zahlendreher

Verwandte Themen