Homogene/ inhomogene DGL?

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Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene/ inhomogene DGL?
Meine Frage:
Während der Auseinadersetzung mit dem Thema DGL und im Besonderen mit dem Artikel "Variation der Konstanten" aus Wikipedia

(http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten)

bin ich auch über den Begriff der homogenen bzw. inhomogenen DGL gestolpert.

Die Unterscheidung, welche ich gefunden habe war diese:

Homogene DGL: Es tritt ein Störterm auf, welcher von einer anderen Variablen als der Rest der Gleichung abhängt.
Bsp: x''+ax=0

Inhomogene DGL: Umkehrschluss.
Bsp: x''+ax=y

Im Wikipediaartikel wird hingegen

als inhomogen bezeichnet.

Der Term wird hingegen als homogen bezeichnet

Meine Ideen:
Dies stimmt offensichtlich nicht mit der mir vorliegenden Definition überein!?


Kann vllt b(x) etwas wie x*y sein und deswegen wird der Term als inhomogen bezeichnet?

Aber dann müsste auch A(x) theoretisch als etwas von y abhängiges angesehen werden, womit auch wieder inhomogen wäre.

Bitte um Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal solltest du nicht einer Symbolverwechslung erliegen:

(1) Hier

Zitat:
Original von Nord.Kind
Bsp: x''+ax=0

Inhomogene DGL: Umkehrschluss.
Bsp: x''+ax=y

wird die Lösungsfunktion gesucht, während y=y(t) irgendein Störterm ist.


(2) Hier dagegen

Zitat:
Original von Nord.Kind
Im Wikipediaartikel wird hingegen

als inhomogen bezeichnet.

Der Term wird hingegen als homogen bezeichnet

ist die zu bestimmende Funktion.


Du kannst also überhaupt nicht die x aus (1) und (2), oder vielleicht auch noch die y aus (1) und (2) miteinander identifizieren - das geht überhaupt nicht! unglücklich
Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das hat mir im Verständnis ein wenig weitergeholfen.

Ich habe nun weitergesucht und bin auf folgende Form gestoßen

So ist eine inhomogene DGL gegeben durch die Form

y'=f(x,y)+g(x)

Falls g(x) =0 so liegt ein homogenes Gleichungssystem vor.


So.



Ist für mich demnach aber

y'=f(x)f(x)+g(x)

Also fehlt hier ein y



Außerdem stelle ich mir die Frage ob ein Gleichungssystem der Form

y'=f(x,y)+g(x,y)

auch homogen wäre?


Danke für die Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

y'=f(x,y)+g(x) ist eigentlich Unsinn, genauso wie y'=f(x,y)+g(x,y), denn ein derart allgemeiner Term wie f(x,y) kann bereits alles vereinen, die Zusatzterme g(x) bzw. g(x,y) sind also sinnlos.

In dem Sinne ist die algemeine Form einer explzit gegebenen Differentialgleichung 1.Ordnung.

Ist nun von der speziellen Gestalt , so handelt es sich um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung 1.Ordnung. Und ist überdies dann auch noch b(x)=0, dann ist es eine homogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung.

Du musst also begreifen, dass dieses ein sehr allgemein gehaltener Ansatz ist, der in schon sehr eingeengt wird. So fällt z.B. in diese Kategorie, aber nicht.
Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Verständnis:



fällt nicht unter

Beispiele zum Verständnis:

würde aber hineinfallen oder?

aber wieder nicht?

aber wiederum nicht, wegen sin(y)

aber schon, da b(x) auch x sein darf?


Habe ich das Prinzip richtig verstanden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nord.Kind
Habe ich das Prinzip richtig verstanden?

Mit Ausnahme von



denn das gehört auch nicht dazu: Nicht wegen des zweiten Summanden , aber im ersten Summanden ist nicht linear - oder mit welchem A(x) willst du erreichen? unglücklich
 
 
Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dann geht aus dem selben Grund + den Grund dass b(x) nicht y^2 sein darf nicht.


Ich denke ich habs verstanden=)

Vieeeeelen Dank!!!=)



Edit: Wobei mir gerade noch ein paar Fälle einfallen bei denen ich mir nicht sicher wäre:

Sollte gehen wenn A(x)=1

Sollte gehen wenn A(x)=1, b(x)=1


Stimmt das?

danke nochmal!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt beides. Freude
Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »

Mh jetzt bin ich wieder über etwas gestolpert.

Deine Form für inhomogene Systeme lautet ja:



.


Wikipedia hat im Artikel über die Variation der Konstanten aber



stehen...=/ Meinen Sie damit lediglich, dass y abhängig von x ist? So wie man das aus der Schulzeit noch kennt mit y=2x =>Geradenfunktion?

Oder kann man es so verstehen, dass y(x) eine Funktion ist welche y und x enthält und sich das x somit mit der Funktion von A(x) verrechnen lässt?



Leider kann ich das noch nicht richtig zuordnen=(
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oje, du stellst aber grundsätzliche Fragen zur Symbolik, die eigentlich längst klar sein sollten.

ist als Funktion von zu verstehen. Eigentlich müsste man immer das Funktionsargument dazuschreiben, so wie etwa bei einer Anfangsbedingung o.ä.

Meint man aber direkt , dann lässt man das auch gern mal weg - ist so Usus.



Genauso schreibt man dann oft , wo eigentlich stehen sollte.


Hast du ja selbst oben getan:

Zitat:
Original von Nord.Kind
Inhomogene DGL: Umkehrschluss.
Bsp: x''+ax=y

wo es hier doch eigentlich hätte



heißen müssen. Evtl sogar a(t) und y(t), aber ich will das jetzt nicht noch weiter ausdehnen. Augenzwinkern
Nord.Kind Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön ! =) Jetzt hab ich alles zusammen!
PeterPeeee Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ich interessiere mich auch für dieses Thema und diese Diskussion hat mir schon sehr weitergeholfen.

Allerdings ist mir nun eine Aufgabe vorgelegt worden, die nicht auf diese Form zu passen scheint.


Ich habe folgende Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem




Es gilt bekanntlich folgende Form:




Nun ist und somit


Aber wie in den vorigen Posts erklärt darf y(x) ja nichts anderes als y sein.

Sin(y) hat ja in dem einen Beispiel schon als falsch gegolten.


Wie kann ich mir das also richtig vorstellen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die vorliegende DGL ist eben keine lineare DGL, da kann man sich drehen und wenden, wie man will.


Aber dennoch lässt sie sich relativ einfach lösen, denn es ist eine DGL mit trennbaren Variablen! Das sollte man zumindest erkennen, nachdem man per Potenzgesetz die faktorielle Zerlegung



vorgenommen hat. Augenzwinkern


P.S.: Herzlich Willkommen im Board. Wink
Das nächste Mal aber bitte für eine neue Frage einen neuen Thread.
PeterPeeee Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die freundliche Aufnahme=)



Achso! Dann ist die obige Gleichung also im speziellen auch nur für lineare inhomogene (oder homogene mit b(x)=0) DGL gültig=)


Und nach ein wenig Recherche bin ich darauf gestoßen, dass es keine Unterscheidung zwischen Inhomogenen und homogenen nichtlinearen DGL gibt.



Außerdem: Da ich nach meiner Recherche auf keine eindeutige Form einer nichtlinearen DGL gestoßen bin gehe ich davon aus, dass es keine fest vorgeschriebene Form für diese gibt.

Stimmt das? Oder wonach sollte ich suchen? Denn unter den Begriff "nichtlineare DGL" finde ich mehrere Ergebnisse mit Titeln wie "Burgersgleichung" die alle auf nichtlinerea DGL bezogen sind.



Die Trennung nach den Variablen war übrigens kein Problem=) Auch die folgende doppelte Integration etc ging gut von der HandAugenzwinkern

Lediglich der Umstand, dass hier kein "y" alleine vorkam hatte mich stutzig gemacht=)

Aber wenn das so stimmt wie ich oben vermutet hatte denke ich, dass ich das auch verinnerlicht habe!


Vielen Dank auch von mir für die schnelle und kompetente Hilfe!
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