Extremstellen f(x,y) = x^3y^2(1-x-y)

04.07.2012, 14:52

Bennoggg

Extremstellen f(x,y) = x^3*y^2*(1-x-y)

Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei folgender Gleichung nicht auf die Extremstellen
f(x,y) = x^3*y^2*(1-x-y)

Meine Ideen:
Eine NST sollte ja bei x1=0;y1=0 sein.

Die Ableitungen habe ich:
fx = 3x^2*y^2 - 4x^3*y^2 - 3x^2*y^3
fy = 2x^3*y - 2x^4*y^2 - 3x^3*y^2

Erhalte dann aus fx
=> 3y = 3 -4x
=> y = 1 -4/3x

in fy eingesetzt:

=> x2 = 3/4
x3 = -1/6

in fy eingesetzt:

=> y2 = 1/6
y3 = 7/9

Aber irgendwie haut es nicht hin bzw. ergeben diese Werte keinen Sinn. Ich bin für jede Hilfe dankbar!

04.07.2012, 18:25

HAL 9000

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Ich zitiere mal, weil es so gut passt

Zitat:

Original von Mystic (Auszug aus Extremstellen von f(x,y))

Normalerweise hat man es ja mit Fällen zu tun, wo jemand wild drauflos kürzt, obwohl die gekürzten Ausdrücke auch 0 sein können und damit Lösungen verloren gehen oder sogar Widersprüche entstehen...

Hier im Thread haben wir also wieder den Normalfall vorliegen. Augenzwinkern

04.07.2012, 18:29

Dopap

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RE: Extremstellen f(x,y) = x^3*y^2*(1-x-y)

Zitat:

Original von Bennoggg

Meine Ideen:
Eine NST sollte ja bei x1=0;y1=0 sein.

Die Ableitungen habe ich:
$\begin{eqnarray*} f_x = 3x^2y^2 - 4x^3y^2 - 3x^2y^3<br /> f_y = 2x^3y - 2x^4y^2 - 3x^3y^2 \end{eqnarray*}$
Erhalte dann aus fx
=> 3y = 3 -4x
=> y = 1 -4/3x

oder y=0

Zitat:

in fy eingesetzt:

=> x2 = 3/4
x3 = -1/6

$\begin{eqnarray*} x_1=0, x_3=\frac 12 \end{eqnarray*}$

Zitat:

in fy eingesetzt:

=> y2 = 1/6
y3 = 7/9

$\begin{eqnarray*} y_3=\frac 13 \end{eqnarray*}$

also: nicht die Lösungen =0 vergessen

04.07.2012, 18:37

HAL 9000

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Tatsächlich sind es noch eine ganze Menge mehr Kandidaten:

Ist nämlich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , dann sind automatisch beide partiellen Ableitungen gleich Null, gleiches trifft im Fall $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ zu. D.h., die gesamte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und auch die gesamte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse sind Kandidaten für lokale Extremstellen! Dazu kommt natürlich noch der von Dopap angegebene einzelne Punkt $\begin{eqnarray*} (x_3,y_3) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}$ .

Bleibt zu untersuchen, welche der Kandidaten auch wirkliche Extremstellen sind. Die Hesse-Matrix ist da beim Punkt $\begin{eqnarray*} (x_3,y_3) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}$ hilfreich, bei den x- und y-Achsen-Punkten eher nicht. Augenzwinkern

04.07.2012, 20:48

Dopap

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@HAL9000

Auch bei den Punkten auf den Achsen verwende ich die Hesse Matrix mit dem Kriterium von
Hurwitz : alle Eigenwerte positiv --> Minimum ,
alle Eigenwerte negativ --> Maximum

und hier gilt keines von beiden. --> kein Extremum.
Auf feinere Untersuchungen wird verzichtet. Soweit o.k?

04.07.2012, 21:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
und hier gilt keines von beiden. --> kein Extremum.

Leider nein: Bei semidefiniten Hessematrizen kann alles mögliche passieren: Sowohl Sattelpunkt als auch "echte" Extremstellen. Und tatsächlich taucht hier auch beides auf.

Vielleicht hast du semidefinit mit indefinit verwechselt - bei indefiniten (ein EW positiv, der andere negativ) Matrizen hast du Recht. Aber hier hat man auf x- und auch y-Achse jeweils Nullmatrizen als Hessematrix, und das ist dieser semidefinite Fall.

EDIT: Ich korrigiere mich: Auf der x-Achse sind es keine Nullmatrizen, sondern Diagonalmatrizen, wo zumindest einer der beiden Eigenwerte gleich Null ist - also auch semidefinit.

04.07.2012, 21:22

Dopap

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klare Antwort! Freude

muss dann mein Programm noch modifizieren...

edit: und somit hat auch der Fragesteller maximale Hilfe erhalten.

04.07.2012, 21:29

Mystic

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Genauer gilt folgendes: Ist H die Hessematrix in einem Punkt P, so ist die negative ( bzw. positive) Semidifinitheit von H notwendig (aber nicht hinreichend!) dafür, dass P ein relatives Maximum (bzw. Minimum) ist... Umgekehrt ist die negative (bzw. positive) Definitheit von H hinreichend (aber nicht notwendig!) dafür, dass P ein relatives Maximum (bzw. Minimum) ist...

04.07.2012, 21:35

Dopap

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Danke an Mystik Freude

Jetzt liegt doch wieder mehr Programmierarbeit vor mir, aber egal!

04.07.2012, 21:48

Mystic

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Was übrigens die positive x-Achse betrifft, so hilft folgende Überlegung: Die Werte der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^3*y^2*(1-x-y) \end{eqnarray*}$

sind dort in $\begin{eqnarray*} (x,0) \end{eqnarray*}$ alle 0 und "kleine Auslenkungen" von x und y um höchstens $\begin{eqnarray*} \pm \varepsilon \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ bewirken keinen Vorzeichenwechsel von f(x,y), ausgenommen für x=1...

04.07.2012, 22:09

Dopap

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scharfe Sache! dass das soviele Aspekte hat, überrascht doch ungemein, macht wieder Mathespass.

Das wäre dann sozusagen die vollständige Kurvendiskussion!

04.07.2012, 22:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mystic
Was übrigens die positive x-Achse betrifft

Das gilt für die gesamte x-Achse, mit Ausnahme der beiden Punkte x=0 und x=1. Allerdings wechseln die Typen der Extrema (Maxima/Minima) in den drei Intervallen $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) , (0,1), (1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Auf der y-Achse liegen dagegen durchgehend Sattelpunkte vor.

04.07.2012, 22:53

Dopap

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bei der nächsten Frage nach Extrema respektive Kurvendiskussion werde ich erst mal 2 Tage Klausur machen ( müssen ) Augenzwinkern

bei $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ artet das dann sicher aus verwirrt

04.07.2012, 23:28

Bennoggg

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Erstmal vielen Dank für die rege Beteiligung.

Ich habe also die 3 Punkte P1 (0;0); P2 (3/4;1/6) und P3 (1/2;1/3) ??
Und um welche Arten der Extremstellen handelt es sich bei denen?

Herzlichen Dank!

04.07.2012, 23:48

Dopap

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Also, der P2 steht nicht auf der Liste.

Das Einzige das feststeht ist, dass P3 ein Extremum ist. Welcher Art solltest du selbst herausfinden können.
Es bliebe jetzt noch nachzuweisen , dass in den den 3 Teilintervallen nach HAL9000
3 relative Extrema existieren, sofern wir annehmen, dass auf der Y-Achse keine existieren.
Das ist aber ( siehe oben ) mit Rechenaufwand verbunden.
Da ich die Posts in Ihrer Bedeutung erst selbst neu einbinden muss, kann ich dir momentan keine Angaben dazu machen.
Ausserdem sind überreichlich Hinweise gegeben, wie man die Prüfungen vorzunehmen hat.

05.07.2012, 11:34

Mystic

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Mystic
Was übrigens die positive x-Achse betrifft

Auf der y-Achse liegen dagegen durchgehend Sattelpunkte vor.

Da steht eigentlich alles, man muss es nur richtig intepretieren: Mit Ausnahme von (0,0) und (1,0) sind alle Punkte auf der x-Achse Extrema... Man muss jetzt nur noch je einen Punkt aus den 3 genannten Intervallen hernehmen und überprüfen, ob er ein Maximum oder Minimum ist... Diese Spezifikation gilt dann automatisch auch für ale anderen Punkte des betrachteten Intervalls...

Edit: Die Überprüfung auf den Typ des Extrememus leicht: Liegen in einer "kleinen" Umgebung des Punktes nur nichtnegative Werte, so ist es ein Minimum, liegen dort nur nichtpositve Werte, dann ein Maximum... Liegen in jeder Umgebung des Punktes positve wie negative Werte (dies trifft aber nur auf die Intervallrandpunkte (0,0) und (1,0) zu), dann ist es ein Sattelpunkt...

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