Beweis Konvergenz einer Folge mit Banachschem Fixpunktsatz

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ManuD90 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Konvergenz einer Folge mit Banachschem Fixpunktsatz
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes unter Verwendung der Iterationsfunktion f(x) = , dass



Ich habe glaube ich die Aufgabe soweit gelöst, bin aber noch etwas unsicher und es wäre nett, wenn jemand mal drüber schauen könnte, ob man das so machen kann. Eigentlich gilt der Banachsche Fixpunktsatz ja nur für abgeschlossene Intervall und ich wende ihn auf ]-1.75,[ an, was ja nicht abgeschlossen ist. Weiß aber nicht, ob ich das Intervall einfach oben willkürlich beschränken darf. Auch da mit dem q = sup... bin ich unsicher. Wenn ich die Bedingung für die Kontraktion richtig verstanden habe, muss das q ja fest sein, aber darf es dann in dem Fall dieses Supremum sein, was sich ja der 1 unendlich annähert, aber diese nie erreicht?

Vielen Dank schonmal!

Meine Ideen:
Wähle D = ]-1.75,[ mit f: D->D, x -> .

f ist eine Kontraktion auf D, denn mit dem Mittelwertsatz gibt es ein z , a,b D, a < b o.B.d.A., sodass




liegt in , da z > -1,75 und somit

mit q = mit z > -1,75

Weiterhin ist 2 ein Fixpunkt von f, denn f(2) = 2. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert genau ein Fixpunkt, da f eine Kontraktion auf dem Intervall D ist und die Fixpunktiteration für mit konvergiert gegen 2.
Beweis Ende.

Edit: Latex gefixed
hfashdh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz einer Folge mit Banachschem Fixpunktsatz
Warum zeigst du nicht, dass die Vorraussetzugen auch bei D = [0, 2] gelten? Dann kann der Satz darauf angewendet werden.

> Wenn ich die Bedingung für die Kontraktion richtig verstanden habe, muss das q ja fest sein, aber darf es dann in dem Fall dieses Supremum sein, was sich ja der 1 unendlich annähert, aber diese nie erreicht?
q muss echt kleiner sein als 1.
ManuD90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Konvergenz einer Folge mit Banachschem Fixpunktsatz
Mittlerweile haben wir die Lösung dazu gekriegt.
Du hast Recht. Es reicht, wenn man für ein beliebiges abgeschlossenes Intervall [a,b] mit a > -7/4 und b >= 2 zeigt, dass es eine Kontraktion ist, wobei x0=0 und der Fixpunkt x*=2 enthalten sein müssen.
Was ich noch vergessen habe zu zeigen, ist, dass Phi eine Selbstabbildung ist. Das wurde in unserer Lösung für das Intervall [0,4] gezeigt.

Ja, das mit dem Supremum hab ich einfach zu kompliziert und pingelig hingeschrieben. Es reicht ja, wenn man zeigt, dass der Term immer < 1 ist.

Danke für deine Antwort
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