Vektorraum von Funktionen

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Anahita Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum von Funktionen
Hi

Ich habe folgende Fragen:

- Wenn ich es richtig verstanden habe, kann für eine beliebige Menge M und einen Körper K die Menge aller Abbildungen von M nach K mit Addition und Skalarmultiplikation als Vektorraum aufgefasst werden.

Wenn man sich nun die auf einem Intervall [a,b] stetigen Funktionen anschaut, heisst es, dieser Vektorraum sei unendlichdimensional - warum? Was sind hier überhaupt die Basisvektoren?

Zudem wird gesagt, dass die Integration dieser stetigen Funktionen auf einem Intervall eine lineare Abbildung ist - aber gilt das nicht sowieso für die Integration beliebiger Funktionen?! Warum muss es sich um stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall handeln?

Danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von Funktionen
Zitat:
Original von Anahita
Wenn man sich nun die auf einem Intervall [a,b] stetigen Funktionen anschaut, heisst es, dieser Vektorraum sei unendlichdimensional - warum? Was sind hier überhaupt die Basisvektoren?

Tja, wie soll da eine Basis aussehen? Das ist die Frage. Augenzwinkern

Man sieht ja auf Anhieb, dass es unendlich viele linear unabhängige Funktionen gibt. Denk doch z.B. nur mal an die Polynome.

Also kann es keine endliche Basis mehr geben, oder?

Zitat:
Original von Anahita
Zudem wird gesagt, dass die Integration dieser stetigen Funktionen auf einem Intervall eine lineare Abbildung ist - aber gilt das nicht sowieso für die Integration beliebiger Funktionen?! Warum muss es sich um stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall handeln?

Naja, wenn man das bestimmte Integral als lineare Abbildung auffassen will, müssen die Funktionen ja überhaupt erst einmal integrierbar sein. Bei nichtstetigen Funktionen kann man da schnell Probleme bekommen.
Auch braucht man ein abgeschlossenes Intervall, damit das Integral auf jeden Fall existiert. Denn z.B. existiert (für K nehmen wir jetzt mal die reellen Zahlen)



nicht, für ein festes b existiert aber



sehr wohl. Nur mal so als Beispiel...
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank erstmals.

Schritt für Schritt vielleicht (ich stelle immer viel zu viele Fragen, obwohl ich noch kaum etwas verstehe :p):

- Zu der Definition des Vektorraumes: Nur die Skalare müssen aus einem Körper sein,die Elemente der Vektoren selbst nicht, oder?
Der Standardfall ist ja der Fall, bei dem man Vektoren der Form (1; 2; 3) hat - hier sind ja die Koordinaten des Vektors auch aus einem Körper.
Aber natürlich haben wir im Fall, in dem wir Abbildungen beispielsweise als unsere Vektoren betrachten, nicht Elemente eines Körpers als Vektoren (Dennoch kann man ja Polynome als Vektoren der Koeffizienten schreiben - also lässt sich doch jeder Vektor mit Hilfe der Elemente eines Körpers eindeutig beschreiben?).

Das Beispiel mit den Polynomen ist gut.

Ein Polynom ist ja nach Definition etwas der Form (sum_i)a_i*x^i - die Koeffizienten stammen dabei aus einem Ring und Polynome sind per Definition endlich.

Wenn ich jetzt die Polynome vom Grad 2 betrachte, wären die Basisvektoren (1,x,x^2), weil sich alle Polynome vom Gerade 2 durch Linearkombination dieser Basisvektoren kombinieren lassen.

Wenn Polynome per Definition endlich sind - muss aber doch die Anzahl der Basisvektoren jeweils auch endlich sein?

Ah ja, noch eine Frage, ich hab gesehen, dass die Notation für ein Polynomring "R[X]" ist - was genau muss für das "X" eingesetzt werden - schlussendlich auch Elemente aus dem Ring nehm ich an?


>_>
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Aber natürlich haben wir im Fall, in dem wir Abbildungen beispielsweise als unsere Vektoren betrachten, nicht Elemente eines Körpers als Vektoren (Dennoch kann man ja Polynome als Vektoren der Koeffizienten schreiben - also lässt sich doch jeder Vektor mit Hilfe der Elemente eines Körpers eindeutig beschreiben?).

Tut mir leid, es ist etwas unverständlich, was du schreibst. Keine Ahnung, was du sagen möchtest.

Die Vektoren müssen natürlich nicht aus einem Körper sein, nein. Solche Fragen dürften eigentlich auch gar nicht aufkommen, lies dir die formale Definition eines Vektorraums nochmal genau durch. Die Elemente des Vektorraums müssen eine abelsche Gruppe bezgl. "+" bilden und auf dieser Gruppe wird dann noch eine Multiplikation mit einem Skalar aus einem Körper K erklärt.

Die Vektoren unseres Vektorraums sind Abbildungen. Und zwar alle stetigen, die es so gibt. Das können Polynome sein, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen oder weiß der Geier was sonst noch.

Zitat:
Original von Anahita
Wenn Polynome per Definition endlich sind - muss aber doch die Anzahl der Basisvektoren jeweils auch endlich sein?

Na schön, dann beschränken wir uns jetzt mal nur auf die Polynome. Wir betrachten den Raum ALLER Polynome. Gib mir dann mal eine Basis an. Da es ja eine endliche Basis gibt, wie du sagst, müsstest du mir ja eine nennen können.

Der Unterschied ist hier doch, dass wir nicht irgendwo bei Grad n aufhören. Denn wenn wir das täten, hätten wir ja nicht mehr ALLE Polynome. Wenn wir Polynome bis zu Grad n betrachten, was ist dann mit den Polynomen vom Grad (n+1) beispielsweise? Die Anzahl der Basisvektoren wird hier genau so unendlich, wie es auch unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Und wir reden immer noch NUR von Polynomen, die ganzen anderen Klassen von stetigen Funktionen lassen wir noch außenvor. Ich denke, es müsste so langsam auch innerlich klar werden, dass das mit der endlichen Basis nicht klappen kann, oder?

Zitat:
Original von Anahita
Ah ja, noch eine Frage, ich hab gesehen, dass die Notation für ein Polynomring "R[X]" ist - was genau muss für das "X" eingesetzt werden - schlussendlich auch Elemente aus dem Ring nehm ich an?

R[X] bezeichnet üblicherweise die Menge aller Polynome, deren Koeffizienten aus dem Ring R stammen. Was X ist, wird dabei erstmal nicht näher festgelegt. X ist eine Variable.

In der Algebra macht man mit Polynomen jedenfalls ganz andere Dinge als in der Analysis. Also musst du dich da ein bisschen von der simplen Anschauung einer ganzrationalen Funktion als der Schule lösen. In der Algebra haben Polynome eine andere Bedeutung als in der Analysis.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens: Danke.

Zweitens: Wenn man gerade frisch anfängt sind Sachen, die für dich "klar" sind eben nicht klar, da man sich mit dermassen vielen Details konfrontiert sieht.

Ich finds ehrlich gesagt ziemlich arrogant mit einer Aussage zu kommen, dass man solche und solche Fragen gar nicht erst stellen sollte.

Auch wenn für dich manche Fragen trivial sind - jede/r fängt mal so an und wenn man Mathe macht hat man immer wieder Zeiten, wo einem auch "Banales" nicht sofort klar ist.

Ich finds ehrlich gesagt eher schlimm, wenn man sein Wissen nutzt, um anderen gegenüber arrogant zu sein....

ausserdem hast du eine meiner fragen nicht richtig verstanden, aber egal...
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich würde gerne meine Frage nochmals stellen...und es tut mir leid, wenns für euch trivial ist, für mich sind solche Sachen halt noch nicht klar:

- Mir ist bewusst, dass wenn wir an beliebige Polynome denken, wir nie eine endliche Basis angeben können - schliesslich gibt es immer noch ein Polynom eines höheren Grades und damit mit einem zusätzlichen Basisvektor.

Aber. Wenn man sich sagen wir mal beispielsweise die Vektoren des R^n anschaut, schaut man ja auch immer Vektoren einer bestimmten Dimension an und gibt diesbezüglich die Dimension der Basis an (zB hat R^2 zwei Basisvektoren) - da sagt man ja auch nicht, dass man eine Basis hat, da man immer noch nach der Basis von R^n+1 fragen könnte - versteht ihr, was ich meine?

Und eine weitere Frage: Im Buch "lineare Algebra" von Fischer steht, dass man mit Matrizen lineare Abbildungen von K^n -> K^m beschreiben kann, wobei "K" ein Körper ist. Heisst das allgemein, dass man mit Matrizen nur lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen beschreiben kann, deren Elemente aus Körper stammen? (Wie wir gesehen haben, sind die Vektoren ja nicht zwingend aus einem Körper, sondern Elemente einer beliebigen Menge mit einer kommutativen Verknüpfung).

Danke
A.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Aber. Wenn man sich sagen wir mal beispielsweise die Vektoren des R^n anschaut, schaut man ja auch immer Vektoren einer bestimmten Dimension an und gibt diesbezüglich die Dimension der Basis an

Zunächst einmal: Vektoren und Basen haben keine Dimension. Der Begriff "Dimension" ist im Zusammenhang mit Vektorräumen so definiert, dass er der Mächtigkeit der Basis entspricht (also der Anzahl der Basisvektoren). Achte da auf die Verwendung der Begriffe, damit du da nicht durcheinander kommst.

Zitat:
Original von Anahita
da sagt man ja auch nicht, dass man eine Basis hat, da man immer noch nach der Basis von R^n+1 fragen könnte

Aber das n ist in diesem Zusammenhang ja von vornherein festgelegt. Wenn man den betrachtet, hat er eine endliche Basis mit Mächtigkeit n. Der hat eben die Dimension n+1, das ist aber ja auch wieder ein ganz anderer Vektorraum.

Man kann das bei Vektorräumen mit Polynomen ja auch so machen, man kann den Vektorraum zum Beispiel betrachten, da hat man wieder eine endliche Basis mit Mächtigkeit n+1 (also auch Dimension n+1), die sich aus einfachen Monomen z.B. konstruieren lässt, wie du es oben schon beim Beispiel n=2 getan hast. Analog hat die Dimension n+2. Hier wird dieses n als eine zwar beliebige, aber dennoch feste natürliche Zahl angesehen und stellt eine Obergrenze dar, welchen Grad die betrachteten Polynome maximal haben können.

Zitat:
Original von Anahita
Heisst das allgemein, dass man mit Matrizen nur lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen beschreiben kann, deren Elemente aus Körper stammen?

Damit man überhaupt einen Vektorraum vorliegen hat, muss dieses "K" ja ein Körper sein. Wenn "K" kein Körper ist, hat man auch keinen Vektorraum.

Es gibt den Begriff "Modul", der den Vektorraum verallgemeinert. Auch hier hat man wieder die von mir angesprochene abelsche Gruppe bezüglich "+", aber hier wird die zusätzliche Skalarmultiplikation eben nicht aus einem Körper K, sondern aus einem Ring "R" definiert.

Aber Moduln sind wieder ein sehr weiträumiger Studiengegenstand der Algebra, das lässt sich jetzt auch nicht in ein, zwei Sätzen abarbeiten. Wenn du Algebra hörst, wirst du diesen Begriff noch ausführlich studieren (müssen).

Edit: Oben habe ich versehentlich einige Male Polynomring geschrieben, wo ich eigentlich Vektorräume meinte, das habe ich ausgebessert. Sorry für die Verwirrung.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Ja, eben, dann hat man bezüglich Polynomringen wenn ich es richtig verstehe eine leicht andere Betrachtungsweise.

Und bei der zweiten Frage meinte ich nicht, dass die Skalare aus einem Körper sein müssen - dass das Teil der Definition ist, ist ja klar.
Aber du hattest ja weiter oben geschrieben "Die Vektoren müssen natürlich nicht aus einem Körper sein, nein." ... die Polynome bilden ja auch keinen Körper, sondern einen Ring...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Hm. Ja, eben, dann hat man bezüglich Polynomringen wenn ich es richtig verstehe eine leicht andere Betrachtungsweise.

Wie gesagt: Ich habe nachträglich zwei Sachen ausgebessert. Polynomringe sind Ringe und daher eine ganz andere Struktur. Vektorräume sind ja was vollkommen anderes. Bei Polynomringen fragt man ja auch nicht nach Basen in dem Sinne. Aber das kann man natürlich machen, wenn man von Vektorräumen spricht, deren Elemente Polynome sind.

Edit: Jetzt verstehe ich deine zweite Frage erst. Du meinst, dass im K^n die Einträge der Vektoren aus einem Körper sein müssen? Also, dass K ein Körper sein muss? Ja, dieses K muss ein Körper sein. Weil auch die Skalare aus einem Körper sind (nach Definition).

Denn sonst bekommt man ja schnell Probleme hinsichtlich der Abgeschlossenheit. Wenn wir jetzt einfach mal ganz blöd statt dem den betrachten würden: Dann wäre die Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation mit einem Skalar ja verletzt, oder? Denn wenn du den Vektor (1,1) beispielsweise mit einer irrationalen Zahl skalarmultiplizierst (wenn wir jetzt mal von den reellen Zahlen als Körper nehmen, aus dem die Skalare stammen), sind die Einträge des Vektors ja nicht mehr ganz, also hast du den verlassen. Nur mal so als Beispiel. Es ergeben sich zahlreiche Probleme.

Aber diese Probleme können sich auch ergeben, selbst wenn K ein Körper ist. Zum Beispiel kann man den als Vektorraum über auffassen, aber zum Beispiel ist der kein -Vektorraum, denn wenn die Skalare reell sein dürften, kann man den ja wieder verlassen. Das darf nicht passieren.

Indem man vom K^n über dem Körper K ausgeht, umgeht man all diese Probleme, denn der K^n ist in jedem Fall ein Vektorraum über K. Man muss erstmal sicherstellen, dass man überhaupt einen Vektorraum hat. Da muss man drauf achten, welche Körper man hinzu nimmt. Der Körper K beim K^n muss sozusagen "kompatibel" sein mit dem Körper, aus dem die Skalare kommen.

Aber Matrizen können allgemein Abbildungen zwischen Vektorräumen beschreiben. Das muss nicht unbedingt der K^n oder sowas sein. Das sind Spezialfälle.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

...endlich hast du die Frage verstanden :p just kidding

Aber eben: Wenn man mit dem Polynomring beginnt, sind ja die Einträge der Vektoren nicht aus einem Körper, sondern offensichtlich aus einem Ring (und man hätte die Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation dennoch..).

Ich glaube, die ganze Diskussion hat mir sehr geholfen! Danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
Aber eben: Wenn man mit dem Polynomring beginnt, sind ja die Einträge der Vektoren nicht aus einem Körper

Ich glaube, du wirfst immer noch Polynomringe und Vektorräume irgendwie in einen Topf. Polynomringe sind etwas anderes als Vektorräume, deren Elemente Polynome sind!

Nochmal: Das sind zwei komplett unterschiedliche Sachen!

Deswegen redet man bei Polynomringen nicht von Angeschlossenheit bezüglich eines Skalars oder von Einträgen bei Vektoren. Weil all das gar nichts mit Polynomringen zu tun hat.
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