Gleichungssystem lösen

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04.07.2012, 18:26	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem lösen Hallo, wie muß man hier vorgehen ? Habe nur die Idee das, wenn der Rang der erweiterte Koeffizientenmatrix ungleich der Koeffizientenmatrix ist so gibt es keine Lösung. Aufgabe: Für welche $\begin{eqnarray} p\in \mathbb R \end{eqnarray}$ hat das lineare Gleichungssystem Ax=b keine, genau eine bzw. mehrere Lösungen ? Sämtliche Lösungen sollen angegeben werden: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & p-1 & p \\ 2 & 3-p & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2p-1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
04.07.2012, 18:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du die erweiterte Matrix schon in Zeilenstufenform (Dreiecksform) gebracht? Wenn nicht, dann solltest Du das machen und dein Ergebnis hier posten
04.07.2012, 21:29	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
So ? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & p-1 & p & 2p-1 \\ 0 & 0 & p+1 &2p+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
04.07.2012, 21:33	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
I mit 2 multiplizieren. I-III $\begin{eqnarray} 2-2=0, 2-(3-p)=-1+p, 2-3=-1, 4-7=-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & p-1 & p \\ 0 & -1+p & -1 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 2p-1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ II-III $\begin{eqnarray} 0-0=0, p-1-(-1+p)=0, p--1=p+1, 2p-1--3=2p+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & p-1 & p \\ 0 & 0 & p+1 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 2p-1 \\ 2p+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3(p+1)=2(p+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2(p+1)+2p=2p-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-\frac{1}{p-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1-\frac{1}{p-1}+2=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=\frac{1}{p-1} \end{eqnarray}$
04.07.2012, 22:05	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis hierhin stimmt es: $\begin{eqnarray} x_3(p+1)=2(p+1) \end{eqnarray}$ Danach musst Du aufpassen, weil die Umformungen ja von p abhängen und somit nicht für alle zulässig sein könnten.
04.07.2012, 22:58	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich nicht
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04.07.2012, 23:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal an Du hättest die Gleichung ax=5 erhalten. Um x zu bestimmen würdest Du durch a teilen, was aber nur für $\begin{eqnarray} a\neq0 \end{eqnarray}$ erlaubt ist. Du musst also den Fall a=0 extra betrachten: 0x=5 ist falsch, also würde diese Gleichung für a=0 nicht lösbar sein. Für $\begin{eqnarray} a\neq0 \end{eqnarray}$ ist sie eindeutig lösbar. Nun versuch das auf deine Gleichung zu übertragen.
04.07.2012, 23:08	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind x1, x2 und x3 richtig aufgelöst ? Hört sich schon ein paar Schritte weiter an
04.07.2012, 23:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell schon, aber halt nicht für alle p und genau darum geht es ja in der Aufgabe.
04.07.2012, 23:15	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
für p=1 geht gibt es keine Lösung.
04.07.2012, 23:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar richtig, sollte aber noch begründet werden.
04.07.2012, 23:29	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
weil 1 durch 0 nicht teilbar ist
05.07.2012, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisl dürftige Antwort.... setzt doch mal p=1 in die letzten Gleichungen ein, dann erhältst Du unter anderem $\begin{eqnarray} 0x_2+2=1 \end{eqnarray}$ , was nichts anderes als 2=1 bedeutet und das ist unabhängig von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ niemals wahr.
05.07.2012, 00:31	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo einfach die 1 in die Matrix einsetzen und man sieht das 1 keine Lösung ist Noch eine Frage. In der Lösung steht das es nur bei p=1 keine Lösung gibt. Es steht aber auch noch da, das es genau eine Lösung für alle $\begin{eqnarray} p\in \mathbb R ohne [-1,1] \end{eqnarray}$ gibt . Ist das ein Fehler in der Musterlösung ?
05.07.2012, 00:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ist es nicht. Setze p=-1 in das Gleichungssystem ein, dann wird es hoffentlich klarer.
05.07.2012, 00:55	:::Mathe12	Auf diesen Beitrag antworten »
-1 ist auch eine Lösung aber warum wird es dann so geschrieben $\begin{eqnarray} p\in \mathbb R ohne [-1,1] \end{eqnarray}$ und nicht so $\begin{eqnarray} p\in \mathbb R ohne [1] \end{eqnarray}$ ?
05.07.2012, 01:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst noch nicht ganz verstanden zu haben, dass es um den Parameter und nicht um die Lösung geht. Zu p=-1 gibt es zwar eine Lösung des Gleichungssystems, aber eben nicht nur eine. In dem Satz wird ja gerade behauptet, dass es für jedes p, das von -1 und 1 verschieben ist, genau eine Lösung existiert.

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