Konvergenz f.ü. folgt aus Konvergenz im Maß

04.07.2012, 18:46

SwedishAngel

Konvergenz f.ü. folgt aus Konvergenz im Maß

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich komme bei einer Aufgabe meines neuen Maßtheorie-Blattes einfach nicht weiter, vielleicht ist hier ja jemand, der mir ein paar gute Ratschläge geben und weiterhelfen kann.
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Sei $\begin{eqnarray*} f_{1} \leq f_{2} \ leq \end{eqnarray*}$ ... eine Folge von messbaren Funktionen, die im Maß gegen eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die Folge auch f.ü. gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Da die Behauptung ja nur durch eine Teilteilfolge der gesuchten Teilfolge erfüllt werden kann ( Das haben wir bereits in der VL besprochen. ) habe ich den Beweis wie folgt durchgeführt:
Es sei $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge.
$\begin{eqnarray*} g_{n}= | f_{n} - f | \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g_{n} \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ im Maß
Zudem soll eine Teilteilfolge $\begin{eqnarray*} g_{nk} \end{eqnarray*}$ existieren
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "Kovergenz im Maß"
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } u [|f_{n} - f| \geq eps) = 0, \forall eps \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } u [|g_{n}| \geq eps) = 0, \forall eps \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } u [|g_{nk}| \geq \frac{1}{2^{k}}) = 0, \end{eqnarray*}$
Es sei $\begin{eqnarray*} E_{k} = {g_{nk}} \geq \frac{1}{2^{k}}, u(E_{k}) \leq \frac{1}{2^{k}} \end{eqnarray*}$
Außerdem sei $\begin{eqnarray*} F_{j} = \bigcup_{k\geq j} E_{k} und F=\bigcap_{j\geq 1} F_{j} \end{eqnarray*}$ ( mit $\begin{eqnarray*} u (F_{j} \leq \frac{1}{2^{j-1}} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in F_{j} \Rightarrow g_{nk} \leq \frac{1}{2^{j}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in x/F_{j}, k \geq j \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} u(F_{j}) \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u(F) = 0 \end{eqnarray*}$
Auf $\begin{eqnarray*} x/F \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} g_{nk} \end{eqnarray*}$ gegen 0, also f.ü.

Unser Übungsleiter sagte zu diesem Ansatz, dass die Idee zwar richtig sei, der Beweis allerdings nicht so durchgeführt werden könnte.
Es wäre wirklich super, wenn mir jemand weiter helfen könnte!

Vielen Dank im Voraus!!!

05.07.2012, 10:31

system-agent

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RE: Konvergenz f.ü. folgt aus Konvergenz im Maß
Also ganz ehrlich gesagt verstehe ich überhaupt nicht was du da gemacht hast, vor allen Dingen: wo hast du denn die Voraussetzung der Monotonie benutzt?

Der Abschnitt

Zitat:

Original von SwedishAngel
Meine Ideen:
Da die Behauptung ja nur durch eine Teilteilfolge der gesuchten Teilfolge erfüllt werden kann ( Das haben wir bereits in der VL besprochen. ) habe ich den Beweis wie folgt durchgeführt:
Es sei $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge.

erschliesst sich mir beim besten Willen nicht.

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