Anzahl von Kombinationen, Formel

10.07.2004, 17:59

Mathespezialschüler

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Anzahl von Kombinationen, Formel

Hi,

bin grad aus m Urlaub zurück. Hatte da genug Zeit und hab mich jetz mit Kombinatorik beschäftigt und auch fast alles verstanden. Nur eines noch nicht:

In meinem Tafelwerk habe ich folgende Formel gefunden:

Für die Anzahl der Kombinationen aus k von n Elementen, wenn jedes Element beliebig oft vorkommen kann bzw. soll, gilt:

$\begin{eqnarray*} C\ =\ \begin{pmatrix} n + k - 1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf?? Ich hab schon versucht, das allgemein zu zählen mit n und k, aber da hab ich dann so viele Möglichkeiten, da komm ich nich weiter. Also wie "leitet" man diese Formel "her" (Kombinatorik is ja eigentlich eher Logik)???

Danke euch! Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.07.2004, 18:38

Leopold

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siehe in deinem Postkasten nach

10.07.2004, 18:55

Mathespezialschüler

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Ok, danke Leopold! :] Is wirklich sehr hilfreich, wenn du mir noch etwas dazu erklärst *g*:

Wie kommt man darauf, dass das jetzt $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist??

Und wenn man das hat, wie zeigt man dann, dass sich die 7 so wie es immer sein soll zusammensetzt aus $\begin{eqnarray*} 5+3-1 \end{eqnarray*}$ ??

11.07.2004, 10:43

Guevara

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Leo kannst du es mir bitte auch schicken,
danke im voraus.

11.07.2004, 12:01

Leopold

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Ich würde ja gerne, habe aber deine E-Post-Adresse nicht.

11.07.2004, 14:35

sommer87

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Könntest du die Lösung bitte ins Forum posten, dann ist sie für alle zugänglich.

Somit müsstest du sie auch nicht jedem zuschicken Augenzwinkern

Augenzwinkern

DAnke

smile

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11.07.2004, 15:45

Leopold

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Wenn du mir sagst, wie ich einem Beitrag einen doc- (oder pdf-) Textanhang von zwei DIN-A4-Seiten beifügen kann, stelle ich das natürlich sofort der Allgemeinheit zur Verfügung.

11.07.2004, 16:24

Mazze

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schätze wenn du die beiden dateien in ein Ziparchiv packst ist das kein problem,da zip eine erlaubte extension ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.07.2004, 17:06

Guevara

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könntest du den Text nicht einfach Kopieren und hier posten.

11.07.2004, 17:20

Leopold

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Ok - so geht's.

11.07.2004, 20:15

sommer87

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:]

Danke smile

smile

11.07.2004, 20:46

Mathespezialschüler

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Wenn das jetzt alle sehen, dann kann mir ja vielleicht auch jemand anderes antworten als Leopold, und zwar auf folgende Fragen, die ich weiter oben schon gestellt hatte:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wie kommt man darauf, dass das jetzt $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist??

Und wenn man das hat, wie zeigt man dann, dass sich die 7 so wie es immer sein soll zusammensetzt aus $\begin{eqnarray*} 5+3-1 \end{eqnarray*}$ ??

Danke euch!!!

11.07.2004, 20:52

Guevara

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in der Tabelle sind 4 (Striche 4=5-1=n-1) und 3 Punkte(k). Du hast eine Zahl die besteht aus 4 einsen un 3 nullen. Wieviele möglichkeiten sind dass? Das kannst du doch wohl berechnen.

11.07.2004, 21:23

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Guevara
Du hast eine Zahl die besteht aus 4 einsen un 3 nullen. Wieviele möglichkeiten sind dass? Das kannst du doch wohl berechnen.

Ja, ich denke schon, nur genau da ist mein Problem. Also das heißt erstmal, wir haben 7 Elemente , wobei wir einmal 4 gleiche und einmal drei gleiche haben. Das heißt, wir wollen doch hier die Anordnung mit Berücksichtigung der Reihenfolge berechnen. MmMn gilt da folgendes:
Zitat aus meinem Tafelwerk:

Zitat:

Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation dieser Elemente.

Anzahl der Permutationen von n Elementen (n Elemente, von denen je $\begin{eqnarray*} \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r \end{eqnarray*}$ untereinander gleich sind)

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{\alpha_1!\cdot\alpha_2!\cdot...\cdot\alpha_r!} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir ja

$\begin{eqnarray*} \frac{7!}{3!\cdot4!} \end{eqnarray*}$

Oh :P, jetz seh ich grad, dass das ja $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Ok, is klar. Mir is jetz auch klar, wie man direkt darauf kommt: Um die Positionen der drei 0en festzulegen hat man ja auch genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Ok, das is jetzt klar. Und wie man das dann auf das allgemeine schließt, ist auch klar. Also danke an Guevera und nochmal danke an Leopold! :]

02.03.2005, 15:54

kurellajunior

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Zitat:

Original von Leopold
Ok - so geht's.

Hallo Leopold.

In Deiner Datei scheint mir ein Fehler... Ich glaube in der letzten Formel ganz unten muss es heißen
$\begin{eqnarray*} \left({n-1+k \atop k}\right)=\left({n-1+k \atop n-k}\right) \end{eqnarray*}$
statt
$\begin{eqnarray*} \left({n-1+k \atop k}\right)=\left({n-1+k \atop n-1}\right) \end{eqnarray*}$

oder?

02.03.2005, 16:19

Mathespezialschüler

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@kurellajunior

$\begin{eqnarray*} {l\choose j}={l\choose l-j} \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} l:=n-1+k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j:=k \end{eqnarray*}$ , dann geht die Formel über in

$\begin{eqnarray*} {n-1+k \choose k}={n-1+k \choose (n-1+k)-k}={n-1+k \choose n-1} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2005, 16:23

kurellajunior

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blöde Einsetzerei... Hammer

Hammer

Danke fürs Brett wegnehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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