Betragsungleichung

05.07.2012, 02:32

moclus

Betragsungleichung

Habe im Heft hier eine Erklärung die ich irgendwie nicht verstehe ..

Es wird die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-3|\geq 8 \end{eqnarray*}$ erklärt ... dort steht:

das es auf folgende Bedingungen führt:

$\begin{eqnarray*} x-3 \geq 8 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} (x-3) \geq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} -(x-3) \geq 8 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} (x-3) < 0 \end{eqnarray*}$

das versteh ich noch alles jedoch steht darunter das mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} x\geq11 \end{eqnarray*}$ im ersten und $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$ im zweiten Fall alle Voraussetzungen bereits automatisch erfüllt ist.
und die Lösungsmenge wird angegeben als $\begin{eqnarray*} L = \mathbb R \ (-5;11) \end{eqnarray*}$

diese Schreibweise der Lösungsmenge versteh ich nicht .. was heißt das genau?

danke im voraus smile

edit: zwischen dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Zeichen und der Klammer $\begin{eqnarray*} ( \end{eqnarray*}$ ist ein \ was ich bei Latex irgendwie nicht anzeigen kann, wann schreibt man die Lösungsmenge so hin?

05.07.2012, 02:47

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Betragsungleichung
Das heißt, dass die reellen Zahlen ohne das offene Intervall von -5 bis 11 die Lösungsmenge darstellen.

05.07.2012, 02:49

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir für die schnelle antwort!

aber woran erkenne ich das denn genau?
weil sonst hätte ich hier geschrieben ... :

$\begin{eqnarray*} L = \left\{ x \in \mathbb R | -5 < x < 11\right\} = (-5;11) \end{eqnarray*}$

edit: habs nun verstanden! smile

05.07.2012, 09:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von moclus
und die Lösungsmenge wird angegeben als $\begin{eqnarray*} L = \mathbb R \ (-5;11) \end{eqnarray*}$

diese Schreibweise der Lösungsmenge versteh ich nicht ..

Üblicherweise schreibt man ja auch $\begin{eqnarray*} L = \mathbb R \setminus (-5;11) \end{eqnarray*}$ . Hast du anscheinend auch versucht, was aber an nicht ausreichenden LaTeX-Kenntnissen gescheitert ist - kann passieren. Augenzwinkern

05.07.2012, 10:22

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

nun ich will mal keinen neuen thread für eine andere Betragsungleichungaufgabe eröffnen ... ich stell es mal hier :

von der Aufgabe $\begin{eqnarray*} |x-2|<|x-5| \end{eqnarray*}$ sollen die Lösungsmengen bestimmt werden und mit den ganzen Fallunterscheidungen ist das immer so ein durcheinander und ich komm hier schon nicht weiter :

schon beim 1. Fall steht hier das: $\begin{eqnarray*} x-2 < x-5 \end{eqnarray*}$ nicht zu lösen ist und beim 4. Fall steht
für $\begin{eqnarray*} -(x-2) < -(x-5) \end{eqnarray*}$ das dies für alle x erfüllt ist.

Ich habe irgendwie das Gefühl das ich nicht so ganz verstehe worum es hier eigentlich geht ...
Wieso ist der 1. Fall denn nicht lösbar?

danke im voraus smile

05.07.2012, 10:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von moclus
schon beim 1. Fall steht hier das: $\begin{eqnarray*} x-2 < x-5 \end{eqnarray*}$ nicht zu lösen ist

Nach Auflösung der Beträge (offenbar geht es um den Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 5 \end{eqnarray*}$ ) wird eben die Ungleichung zu $\begin{eqnarray*} x-2 < x-5 \end{eqnarray*}$ . Subtraktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ führt dann zu

$\begin{eqnarray*} -2 < -5 \end{eqnarray*}$ ,

was offensichtlich eine falsche Aussage ist, d.h., für kein x erfüllt.

Genauso führt $\begin{eqnarray*} -(x-2) < -(x-5) \end{eqnarray*}$ nach Addition von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu der wahren Aussage

$\begin{eqnarray*} 2 < 5 \end{eqnarray*}$ ,

die dann natürlich für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erfüllt ist - natürlich nur für all jene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die der Fallbedingung jenes 4.Falls genügen!

05.07.2012, 10:56

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

gut das hab ich dann schonmal verstanden warum die Gleichung erfüllt ist und die andere nicht ... aber woran erkenne ich für welche Betrachtung ich mich entscheiden muss?
Hier in der Lösung wird z.B. für Fall 1 angegeben:

$\begin{eqnarray*} (x-2\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-5 \geq 0) <=> x \geq 5 \end{eqnarray*}$
es wird bei beiden vermerkt $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ jedoch wird die Äquivalenzumformung nur auf die zweite Gleichung angewandt ... das versteh ich nicht

05.07.2012, 10:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje, denk doch mal nach:

Es müssen die Bedingungen $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ und zugleich (!!!) $\begin{eqnarray*} x\geq 5 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt das?

05.07.2012, 11:06

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

für $\begin{eqnarray*} x \geq 5 \end{eqnarray*}$
weil das auch größer als 2 ist ... deswegen wählt die Lösung die Betrachtungsweise.
Ist das so richtig?

edit: oder hab ich hier grade einen Denkfehler?
Wenn ich direkt die 5 betrachte wird die 2 doch garnicht mehr mit eingeschlossen? :O

edit²: ahh jetzt versteh ich das glaub ich! dies $\begin{eqnarray*} x \geq 5 \end{eqnarray*}$ ist richtig! smile

Wenn x größer gleich 2 sein soll dann erfüllt die 5 ja schon lange diese Bedingung und selber ist sie ja auch gleich 5!

ist das nun korrekt?

05.07.2012, 11:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Oder wenn dir Mengenbetrachtungen eher liegen:

$\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet ja dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x\in [2,\infty) \end{eqnarray*}$ , entsprechend dann $\begin{eqnarray*} x\geq 5 \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x\in [5,\infty) \end{eqnarray*}$ . Wenn beide Bedingungen erfüllt sein sollen, dann heißt dies $\begin{eqnarray*} x\in [2,\infty)\cap [5,\infty) \end{eqnarray*}$ . Und wie groß ist der Durchschnitt dieser beiden Intervalle? Genau gleich dem Intervall $\begin{eqnarray*} [5,\infty) \end{eqnarray*}$ .

05.07.2012, 22:23

moclus

Auf diesen Beitrag antworten »

so ich hab jetzt die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} |x-2| < | x-5| \end{eqnarray*}$ gelöst und komme zur vereinigten Lösungsmenge:
$\begin{eqnarray*} L = \left\{ x \in \mathbb R | -\infty < x < 3,5 \right\} = ( - \infty ; 3,5) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

und wie kann ich genau vermerken das ich alle Lösungsmengen vereinige?
z.B. hab ich beim ersten Fall :

$\begin{eqnarray*} -2 < -5 \end{eqnarray*}$
das ist ja unwahr, soll ich dann die leere Lösungsmenge vermerken?

Neue Frage »

Antworten »

Betragsungleichung

Verwandte Themen