Für welche a konvergiert die Reihe

05.07.2012, 11:24

nerd18000

Für welche a konvergiert die Reihe

Meine Frage:
Hallo community,

für welche $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty {\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{a}{k\left(k+1\right) } \right)}^{n} \end{eqnarray*}$ konvergent?

Meine Ideen:
Ich glaube man muss "nur" schauen für welche a die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{a}{k\left(k+1\right) }= S \end{eqnarray*}$ kleiner 1 ist, weil man dann mit der geometrischen Reihe argumentieren kann, dass die Reihe konvergiert. Ich komm zwar drauf, dass S absolut konvergiert aber nicht auf desen Wert (Wobei ich vermute, dass der Wert 2a ist). Danke für eure Hilfe.

05.07.2012, 11:29

HAL 9000

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Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{a}{k(k+1)} = a\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergent, aber das ist nicht der Punkt, auf den es ankommt:

Du solltest die dort auftauchende Partialsumme

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{a}{k(k+1)} = a\cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

explizit berechnen (Stichwort: Teleskopsumme), dann erst kommt man zum richtigen Kern der Aufgabe. Bisher kratzt du an der falschen, unwichtigen Stelle.

05.07.2012, 12:46

nerd18000

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Hallo HAL9000

Zitat:

Original von nerd18000
Ich komm zwar drauf, dass S absolut konvergiert aber nicht auf desen Wert (Wobei ich vermute, dass der Wert 2a ist).

Damit habe ich eh gemeint, dass es für alle a konvergiert (Das ist zwar nicht wichtig, aber es hätte wichtig sein können, wenn ich dabei draufgekommen wäre, dass es für manche a divergiert). Aber mein Problem ist ja gerade, dass ich es nicht schaffe den Wert zu berechnen. Vermute ich zumindest das Richtige? Nämlich dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n-1 } \frac{a}{k\left(k+1\right) } = 2a \end{eqnarray*}$

bzw.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n-1 } \frac{1}{k\left(k+1\right) } = 2 \end{eqnarray*}$

Leider entecke ich da über haupt keine Teleskopsumme verwirrt

Danke!

05.07.2012, 13:00

shipwater

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Hallo,

deine Vermutung ist falsch, aber woher kommt denn auch das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ ?
Um die Teleskopsumme zu erkennen, kannst du im Zähler $\begin{eqnarray*} k+1-k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ schreiben und dann den Bruch geeignet auseinanderziehen.

Gruß Shipwater

21.08.2012, 11:42

nerd18000

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hallo

,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty {\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{a}{k\left(k+1\right) } \right)}^{n} \end{eqnarray*}$ ist also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)^{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a-\frac{a}{n} \right) ^{n} \end{eqnarray*}$

dann habe ich ein beispiel aus dem das herausgeht:

$\begin{eqnarray*} |q|<1, a\in \mathbb R :a\sum\limits_{n=0}^i q^{n} \rightarrow \frac{a}{1-q} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} i \rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt sage, dass $\begin{eqnarray*} q=a\left(1-\frac{1}{n} \right) \rightarrow a \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$

stimmt es dann, dass die reihe gegen $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-a} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} |a|<1 \end{eqnarray*}$ ist?? (bzw.: $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ weil am anfang stand $\begin{eqnarray*} <br /> a\in \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ )
danke für jede antwort!!

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