Erklärung Partialbruchzerlegung

05.07.2012, 13:26

Master1991

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Erklärung Partialbruchzerlegung

Hi,

also irgendwie komme ich mit der Partialbruchzerlegung nicht ganz klar, habe mir auch schon andere Threads angeschaut, versteh das mit dem Koeffizientenvergleich nicht so ganz, habe hier ein Beispiel aus meinen Prüfungsübungsaufgaben:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2+4x-1}{x^3+5x^2+6x} \, dx \end{eqnarray*}$

So mein erster Schritt wäre jetzt Konstanten aus dem Integral rausziehen, sind keine da also weiter:

Nennergrad ist um 1 größer als Zähler grad--->Partialbruchzerlegung

Bestimmung der Linearfaktorzerlegung des Nenners:

$\begin{eqnarray*} x^3+5x^2+6x = x(x^2+5x+6) => x_1=0 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} x^2+5x+6 => -\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-6} => x_2=-2 und x_3=-3 \end{eqnarray*}$

Also zugehörige Linearfaktoren:

$\begin{eqnarray*} x,(x+2),(x+3) \end{eqnarray*}$

So muss ich jetzt in den Zähler einfach A,B,C schreiben oder woher weiß ich was oben rauf gehört?

also muss ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3} = \frac{x^2+4x-1}{x^3+5x^2+6x} \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun genau weiter, aso wie kriege ich nun Zahlenwerte für A,B und C?

MfG

05.07.2012, 13:33

Equester

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Das ist soweit richtig Freude

Freude

.

Multipliziere mit dem Hauptnenner. Dann mache den Koeffizientenvergleich.
Probiers nochmals selbst sonst frag nach.

Schau auch vllt hier vorbei: [WS] Partialbruchzerlegung smile

smile

05.07.2012, 14:01

Master1991

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Wow, dein Workshop ist da sicher hilfreich,, hab mir den mal kurz angeschaut, aber ich glaube ich habs trotzdem nicht richtig gemacht:

$\begin{eqnarray*} A(x^2+5x+6)+B(x^2+3x)+C(x^2+2x) = x^2+4x-1 \end{eqnarray*}$

=> A+B+C = 1
=> 5A+3B+2C = 4
=> 6A = -1

Also:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{-1}{6} and B=\frac{31}{18} and C=\frac{-5}{9} \end{eqnarray*}$

Fühlt sich aber falsch an was ich getan hab

05.07.2012, 14:06

Equester

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Ist alles richtig bis auf dein Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Wirst wohl einen Rechenfehler drin haben.
Das Prinzip scheint aber verstanden Freude

Freude

.

05.07.2012, 14:36

Master1991

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Jop, hab A und B zwischendurch vertauscht:

Habe nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{6x} + \frac{5}{2(x+2)}+\frac{-4}{3(x+3)} \end{eqnarray*}$

So davon kann ich ja nun durch linearität des Integrals 3 Integrale von machen und diese Getrennt Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{-1}{6x} \, dx + \int \! \frac{5}{2(x+2)} \, dx + \int \! \frac{-4}{3(x+3)} \, dx \end{eqnarray*}$

So und das Integriert ist doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{6} ln|x| + \frac{5}{2} ln|x+2| + \frac{-4}{3}ln|x+3| \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist richtig. Wäre noch die Frage: In der Aufgabe stand als Tipp das man hier bei der Partialbruchzerlegung einen "besondern Ansatz" machen muss, aber hab ich doch gar nicht?

05.07.2012, 14:42

Equester

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Einen "besonderen" Ansatz sehe ich hier auch nicht. Du hast alles richtig gemacht.
Bis auf das fehlende c!

Bei einem unbestimmten Integral kommt immer eine Konstante hinten dran! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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05.07.2012, 14:55

Master1991

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Okay, ja die Konstante vergess ich immer...schreib ich mir wohl lieber in Fett auf meinen Hilfszettel^^

Aber schonmal gut ein Thema mehr abgearbeitet. Melde mich dann fürs nächste Thema sicher in nicht allzuferner Zukunft Big Laugh

Big Laugh

Danke dir für deine Hilfe smile

smile

05.07.2012, 15:10

Equester

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Gerne

smile

Wink

06.07.2012, 13:06

Master1991

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Hmm ich glaube so ganz verstanden hab ich es wohl doch noch nicht, brauche da nochmal hilfe:

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{4}^\frac{3}{4} \! \frac{1}{x^3-x} \, dx \end{eqnarray*}$

So diese Funktion mit Vorzeichenvertauschten Nenner hatten wir bereits schonmal, finde leider die Unterlagen dazu nicht wieder:

Habe wie zuvor die Nullstellen gesucht, da wir hier eine doppelte Nullstelle in x=1 haben habe ich dann diese Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^3-x} \end{eqnarray*}$

So aber nach Koeffizienten vergleich folgt dann doch das A = 0 und A = -1 sein muss, was sich ja irgendwie wiederspricht.

Bitte um Hilfe.

Ergänzend folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{3x^4-2x^3+2x^2-2x-1}{x^3-x^2+x-1} \, dx \end{eqnarray*}$

Da kann ich doch nun KEINE PBZ machen oder? Weil Zähler Grad > Nenner Grad?
Also muss ich doch substituieren, das fällt mir allerdings immer etwas schwer weil ich keine Ahnung hab was ich substituieren soll und woran man das sieht.

Muss für Partialbruchzerlegung der Nenner GENAU um 1 größer sein oder geht das auch beliebig größer?

MfG und danke smile

smile

06.07.2012, 13:16

Equester

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Zum ersten Teil.
Das ist in zweierlei hinsicht falsch. Wie kommst du für x**2-1 auf (x-1)**2?
Das ist der dritte Binomi und nicht der zweite Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Damit sollte dieser Teil kein Problem mehr beim Lösen sein.

Bleiben wir aber einen Moment bei der Annahme, dass wir eine doppelte Nullstelle bei x=1
haben, so lautet der Ansatz wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^3-x} \end{eqnarray*}$

(Siehe auch meinen Link/Workshop)

-----
Das hast du richtig erkannt. Ist der Zählergrad>Nennergrad ist die PBZ so nicht anwendbar.
Da kommt dann die Polynomdivision ins Spiel. Das vereinfacht das Problem in unserem
Fall schon soweit, dass wir hier nicht mal mehr einen PBZ machen müssen.
Würden wir aber ein Restglied bekommen (wie gesagt; hier nicht der Fall) müssten wir vom
Rest eine PBZ machen.

Der Nennergrad muss größer als der Zählergrad sein. Wie viel ist dabei egal
(siehe erster Absatz...wir haben im Nenner den Grad 3, während der Zähler den Grad 0 trägt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.)

P.S.: Bin erst heut Abend wieder on, denk ich.
Wink

Wink

06.07.2012, 16:07

Master1991

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Stimmt macht irgendwie sinn mit den Graden.

So die Aufgabe hab ich nun auch gelöst bekommen und nach Polynomdivision war auch das andere Integral kein problem mehr...das ist schonmal nen Fortschritt, halte ich für mich also Fest.

1. Bei Bruch aus Polynomen: Wenn Zähler>Nenner Polydiv danach PBZ
2. Bei Bruch aus Polynomen: Wenn Nenner>Zählen PBZ

Leider tauchen direkt die nächsten Integrale auf die Probleme bereiten:

$\begin{eqnarray*} \int \! cos^5(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ansich sieht das eigendlich nicht kompliziert aus. Wäre es nur cos(x) wäre sin(x) die Stammfunktion. Aber so...hmm wenn ich das als Produkt schreibe und dann Produktintegration mache wird die Sache irgendwie nicht einfacher, dann hab ich da nen riesen langen Term mit sinusen und cosinusen. Geh ich also mal davon aus, das das nicht zum Ziel führ. PBZ geht nicht also substitution:

Eigendlich will ich doch so substituieren das alle alten x durch u ersetz werden, das geht ja aber auch nicht und wenn ich cos^4(x) substituiere bleibt ja was über. Also geht substitution auch nicht...folglich: Ich hab keine Ahnung wie ich das Integriere

Zweites Integral mit Problemen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} \, dx \end{eqnarray*}$

Nach Polynomdivison:
$\begin{eqnarray*} 3x+1-\frac{2x^2+2x}{x^3-x^2+x-1} \end{eqnarray*}$

Nullstellen des Nenners wieder durch Polynomdivion bestimmen und nun kommt das Problem denn das sind

$\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 =-i \end{eqnarray*}$

Habs eigendlich auch nochmal nachgerechnet, hoffe ich hab mich trotzdem verrechnet ansonsten bräuchte ich da nochmal ein bisschen Hilfe weil im Worshop das mit den Komplex Konjugierten linearfaktoren versteh ich nicht so ganz.

MfG

06.07.2012, 16:54

Equester

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Das Festgehaltene klingt ganz gut Freude

Freude

.

Das Cosinusintegral ist einfacher als es aussieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Nimm einfach cos(x)=u und substituiere damit. Beachte, dass du das dx zu ersetzen hast.
Das beachtet und das Ergebnis steht schon fast da Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zum zweiten Integral:
Ich hab da:

$\begin{eqnarray*} 3x+1+\frac{-2x^2+2x}{x^3-x^2+x-1} \end{eqnarray*}$

Kontrolliere das nochmals.

Der Ansatz für komplexe Nennernullstelle ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Dann ganz normal weiters vorgehen (siehe auch Link).

06.07.2012, 17:33

Master1991

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Ja hab das Minus vor den Bruch gezogen und wohl nicht alle Vorzeichen geändert, habs korrigiert. Werd mich da später dran versuchen melde mich dann wieder smile

smile

06.07.2012, 20:14

Equester

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Geht klar

Augenzwinkern

.

Und ja, das war der Fehler.

06.07.2012, 21:11

Master1991

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So hab jetzt ein bisschen rumgerechnet und ich glaube auch den Ansatz mit den Komplexen Nullstellen verstanden:

ich komme nach Koeffizientenvergleich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir nun aber wieder nicht ganz sicher, also laut Lösung kann ich das einfach in den ln schreiben als Stammfunktion. Aber ich dachte das geht nichtmehr sobald da x^n steht und dann ist das irgendwas mit sin,cos,tangens...oder bringe ich da was durcheinander?

Naja jedenfalls ist das Ergebnis dann

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x^2+x-2*ln|x^2+1|+const \end{eqnarray*}$

Leider deckt sich das nicht komplett mit der Musterlösung laut der ist es ...1*ln|x^2+1|...

Finde allerdings meinen Fehler nicht, Musterlösung falsch?

Zu dem anderen Integral:

Da tue ich mich leider nach wie vor schwer dran also:

Ich substituiere cos^5(x) = u und dx=du.

Dann muss ich doch nun Ableiten, also

$\begin{eqnarray*} 5cos^4(x)*sin(x) dx = du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac {du}{5cos^4(x)*sin(x)} \end{eqnarray*}$

Aber das versteh ich nun leider auch nicht weil ich jetzt nach wie vor x in meinem Integral habe und doch eigendlich durch Substitution die x wegbekommen will?

Oder hab ich das mit der Substitution nicht so ganz begriffen (Das mag auch gut möglich sein^^) Danke vielmals für deine Gedult und Hilfe

06.07.2012, 22:02

Equester

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Hi Master, da bin ich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dein Koeffizientenvergleich dürfte richtig sein, allerdings musst du dich bei
der Variable vertan haben.

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
ist die richtige Lösung.

Dann sollte dir auffallen, dass die Form f'(x)/f(x) vorliegt. Da kommt dann der ln ins Spiel.
Die Musterlösung ist richtig.

Beim Cosinus muss ich meine letzten Post zurückziehen. Keine Ahnung was mich
da geritten hatte. Das meinige bezog sich auf die Ableitung verwirrt

verwirrt

.
Ich glaube da musst du einen Extrathread für aufmachen. Da bin ich überfragt verwirrt

verwirrt

.

06.07.2012, 22:22

Master1991

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Ah ok dann seh ich sofort meinen Fehler...ich hatte die -2 vors Integral gezogen und dann einfach ln|x^2+1| angenommen...wusste doch gleich das bei x^2 nicht einfach mehr ln angewendet werden kann.

Dann weiß ich auch wie das Ergebnis zustande kommt, okay Fall geklärt.

Für das Cosinus Integral benutzt Wolfram Alpha scheinbar eine allgemein Gültige Formel für cos^n(x) ... die hatten wir aber nicht daher brauch ich halt den normalen weg.

Aber ich mach dafür dann nochmal nen neuen Thread auf vll kann mir dort dann ja noch jemand helfen smile

smile

Danke dir an dieser Stelle schonmal vielmals du hast mir echt viel geholfen somit sollten die Integrale der Prüfung schonmal leichter werden...

Falls noch weitere Integrationsproblem auftretetn führ ich den Thread fort Big Laugh

Big Laugh

MfG

06.07.2012, 22:35

Equester

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Zitat:

Original von Master1991
Ah ok dann seh ich sofort meinen Fehler...ich hatte die -2 vors Integral gezogen und
dann einfach ln|x^2+1| angenommen...wusste doch gleich das bei x^2 nicht einfach
mehr ln angewendet werden kann.

Da hattest du den richtigen Riecher. So muss es sein!

Yup viel Spaß im anderen Thread und meld dich, wenns noch Probleme gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gerne,
Wink

Wink

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