Grenzwert harmonische Reihe -ln(n)

05.07.2012, 14:51

misterfopper

Grenzwert harmonische Reihe -ln(n)

Hallo,

ich soll mit Hilfe der Integralform des Logarithmus zeigen, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} - ln(n) \right) \end{eqnarray*}$

existiert.

Also das Integral von ln(n) wäre ja bekanntlich $\begin{eqnarray*} n ln(n) - n \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern mir das weiterhelfen soll, weiß ich aber nicht.

Was ich noch weiß ist, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\right) = \infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln(n) = -\infty = \lim_{n \to \infty } n*ln(n) -n \end{eqnarray*}$

Danke für jegliche Hilfe!

05.07.2012, 14:54

Zizou66

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RE: Grenzwert harmonische Rheie -ln(n)

Zitat:

Original von misterfopper

Was ich noch weiß ist, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left( \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\right) = \infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln(n) = -\infty = \lim_{n \to \infty } n*ln(n) -n \end{eqnarray*}$

Danke für jegliche Hilfe!

Wenn das so ist, bist du ja sofort fertig. Warum nämlich?

Wirklich gilt jedoch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ln(n) = \infty \end{eqnarray*}$

EDIT: Versuche mal die Potenzreihe des ln einzusetzen...

05.07.2012, 15:33

Valdas Ivanauskas

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RE: Grenzwert harmonische Reihe -ln(n)
Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac 1k-\ln(n)=\sum_{k=1}^n \frac 1k-\int_1^n\frac{\dd x}x=\frac 1n+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac 1k-\int_k^{k+1}\frac{\dd x}x\right)=\ldots\leq \frac 1n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac 1{k^2}. \end{eqnarray*}$

05.07.2012, 15:53

shipwater

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Hallo,

du kannst hier ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \ln(n)=\int_1^n \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$
Damit kannst du $\begin{eqnarray*} \ln(n) \end{eqnarray*}$ durch die Ober- und Untersumme mit der Breite $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ des Integrals von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ abschätzen.
Genauer gilt $\begin{eqnarray*} O_1=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Damit hast du folgende Ungleichung gewonnen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \leq \ln(n) \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
Durch weiteres Umformen auch: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \leq 1 \end{eqnarray*}$ also ist die Beschränktheit klar und Grenzwert liegt zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .
Nun solltest du allerdings $\begin{eqnarray*} a_n:=\ln(n)-\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ betrachten (Differenz von Integral und Untersumme!)
Von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ kannst du Beschränktheit auch und Monotonie leichter nachweisen. Und wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n)=1-a_n \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

06.07.2012, 09:55

misterfopper

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Ich verstehe nicht so ganz, wieso ich die Differenz von ln(n) und der Untersumme/Obersumme jetzt noch betrachten muss, wenn ich hier schon sehe, dass mein gegebenes einen Grenzwert hat (dass ist, ja, was ich zeigen soll).

06.07.2012, 10:05

Valdas Ivanauskas

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Für den Nachweis der Konvergenz benötigst Du neben der Beschränktheit auch die Monotonie!

06.07.2012, 12:08

shipwater

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Ich sehe gerade, dass du die Monotonie von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \end{eqnarray*}$ zeigen kannst, indem du zeigst, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \geq e \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du das kannst, dann brauchst du den Umweg über $\begin{eqnarray*} a_n=\ln(n)-\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nicht zu gehen. Ich hatte $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nur eingeführt, weil es die Differenz von Integral und Untersumme ist und daher direkt klar ist, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton wachsend sein muss.

Gruß Shipwater

08.07.2012, 11:30

misterfopper

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Aaah jetzt hab ich das auch verstanden. Vielen Dank!

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