Konvergenz einer unendlichen Reihe

30.01.2007, 17:27

gibson

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Konvergenz einer unendlichen Reihe

hi!
Beim Üben für meine Klasur diesen Freitag bin ich auf ein Problem gestoßen. Ich poste mal das Beispiel mit meiner Lösung:

Man bestimme die Konvergenz folgender Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} = \frac{\sqrt{n}*(n+7)}{n^2-8} \leq \frac{n*(n+7)}{n^2-8} = \frac{n^2+7n}{n^2-8} = b_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_k = 1 \end{eqnarray*}$

d.h. Die Reihe ist konverget. Soweit ich mich erinnern kann, ist die Reihe aber divergent.
wo liegt mein Fehler?

30.01.2007, 17:43

Abakus

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RE: Konvergenz einer unendlichen Reihe

Zitat:

Original von gibson
Man bestimme die Konvergenz folgender Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} = \frac{\sqrt{n}*(n+7)}{n^2-8} \leq \frac{n*(n+7)}{n^2-8} = \frac{n^2+7n}{n^2-8} = b_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_k = 1 \end{eqnarray*}$

d.h. Die Reihe ist konverget.

Kannst du erstmal begründen, wie du genau auf die Konvergenz kommst ? Dann müsstest du es merken.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 17:47

Leopold

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Da müßte es in der Klammer wohl $\begin{eqnarray*} \ldots 7 \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ heißen. Und der Vergleich der Reihe durch eine Abschätzung nach oben mit einer divergenten Reihe (Denkfehler bei dir!) bringt doch gar nichts.

Für solche Ausdrücke kannst du nach der folgenden Faustregel vorgehen (ich hoffe, die stimmt; du kannst das ja einmal präzisieren und einen Beweis versuchen): Alle Potenzen in Zähler und Nenner bis auf die jeweils höchsten vernachlässigen. Die Reihe konvergiert/divergiert dann simultan mit der so gefundenen Ersatzreihe. Die Doppelschlange $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ ist in diesem etwas ungenauen Sinn zu verstehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2 + 7n}{\sqrt{n} \left( n^2 - 8 \right)} \approx \frac{n^2}{n^{2{,}5}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Da nun die Ersatzreihe $\begin{eqnarray*} \sum~\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert (Vergleich mit der harmonischen Reihe), divergiert auch die gegebene Reihe.

30.01.2007, 17:48

gibson

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RE: Konvergenz einer unendlichen Reihe
naja, wenn $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert (das tut es ja auch, der Grenzwert ist 1), dann konvergiert ja auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ !
Ist mein Rechengang richtig?

30.01.2007, 17:50

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \approx 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots \end{eqnarray*}$ konvergent?

30.01.2007, 17:51

gibson

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mann, ich weiß nie, wann ich Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium anwenden soll unglücklich

unglücklich

Gibts in www irgendwo gute Übungsbeispiele zu konvergenten Reihen (ich hab bis jetzt noch keine gefunden)?

EDIT: warum 1+1+1+1+1+... ?

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30.01.2007, 17:54

Abakus

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RE: Konvergenz einer unendlichen Reihe

Zitat:

Original von gibson
naja, wenn $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert (das tut es ja auch, der Grenzwert ist 1), dann konvergiert ja auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch. Die konstante Folge (1) ist sicher konvergent (gegen 1), die Partialsummen werden aber immer riesiger: 1, 2, 3, 4, ... (so eine Reihe wäre divergent also).

Das müsstest du erstmal realisieren. Ansonsten sagt es Leopold bereits: eine divergente Majorante nützt dir bei dieser Art von Untersuchung nichts.

Deinen Rechengang habe ich nicht genau angeschaut, erstmal ist das Prinzip und das was du machst, wichtig.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 18:41

gibson

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könnt hier mir vl. noch einen tipp zur Konvergenz folgender Reihe geben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}~cos( \frac{n^2}{2})\frac{(n^2+1)*2^n}{(n+1)!*\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

ich hab keine ahnung wie man sowas angeht unglücklich

unglücklich

Ich weiß nur, dass der Betrag vom cos(n²/2) immer kleiner gleich 1 ist...

30.01.2007, 19:30

Abakus

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Versuche einfach eine konvergente Majorante zu finden (Majorantenkriterium). Zum Finden einer Idee kannst du dir die Faktoren in Zähler und Nenner näher anschauen: was passiert für große n ? Den Cosinus würde ich so abschätzen, wie du es sagst.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 19:38

Buef

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RE: Konvergenz einer unendlichen Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} \end{eqnarray*}$

würde es folgendermaßen abschätzen mit hilfe des majonrantenkriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} = \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{n^{2,5}-\sqrt{64n}} \end{eqnarray*}$
da der nenner das größere polynom besitzt, ist deren folge eine NF
wogegen die reihe konvergiert kannst du mit l'Hopital lösen!

30.01.2007, 20:03

Abakus

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RE: Konvergenz einer unendlichen Reihe

Zitat:

Original von Buef
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{\sqrt{n}*(n^2-8)} = \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n^2+7n}{n^{2,5}-\sqrt{64n}} \end{eqnarray*}$
da der nenner das größere polynom besitzt, ist deren folge eine NF
wogegen die reihe konvergiert kannst du mit l'Hopital lösen!

Das ist umgeformt, ok; ändert aber nichts an der Divergenz der Reihe. Mit den Regeln von l'Hospital hat die Reihensumme nichts zu tun verwirrt

verwirrt

.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 20:16

gibson

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das versteh ich jetzt nicht:
dass
$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{n^2+7n}{n^{2,5} - \sqrt(64n)} \end{eqnarray*}$
eine NF ist, verstehe ich. Aber das muss ja bedeuten, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert!! (Satz aus meinem Skriptum: "Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann is ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) eine Nullfolge.")

30.01.2007, 20:20

Abakus

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Zitat:

Original von gibson
(Satz aus meinem Skriptum: "Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann is ( $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) eine Nullfolge.)

Beachte die Schlußrichtung:

- wenn die Reihe konvergiert, ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge; soweit korrekt

- die Umkehrung ist falsch (siehe oben)

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 20:23

gibson

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das hab ich mir schon gedacht... unglücklich

unglücklich

Aber dann ist der Beitrag von Buef ja überflüssig. Der Grenzwert usw. hat doch in dem Fall nix mit der Konvergenz zu tun!

30.01.2007, 20:26

Abakus

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Zitat:

Original von gibson
Aber dann ist der Beitrag von Buef ja überflüssig. Der Grenzwert usw. hat doch in dem Fall nix mit der Konvergenz zu tun!

Ja, korrekt. Nur wenn der Folgengrenzwert nicht Null wäre, könnten wir sofort auf Divergenz schließen.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 20:31

gibson

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ah....
D.h. wenn wir
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$
haben und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$
heißt das sofort, dass die Reihe divergent ist??

30.01.2007, 20:36

Leopold

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Zitat:

Original von gibson
ah....
D.h. wenn wir
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$
haben und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$
heißt das sofort, dass die Reihe divergent ist??

Ja, das heißt es. Leider ist bei deinem Beispiel diese Voraussetzung nicht gegeben. Hier ein mögliches Vorgehen:

Da $\begin{eqnarray*} \frac{n^2 + 7n}{n^2 - 8} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, liegen fast alle Folgenglieder in der Nähe von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Anders gesagt:

$\begin{eqnarray*} 0{,}30012007 \leq \frac{n^2 + 7n}{n^2 - 8} \leq 1{,}31012007 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

"Für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ " bedeutet genauer "es gibt ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ ..."

Jetzt multipliziere diese Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ durch und überlege, welche Abschätzungsrichtung (nach unten oder nach oben) für dein Problem nützlich ist.

Das ist übrigens eine Präzisierung der Faustregel aus meinem ersten Beitrag im vorliegenden Fall.

30.01.2007, 20:36

Abakus

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Zitat:

Original von gibson
ah....
D.h. wenn wir
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$
haben und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$
heißt das sofort, dass die Reihe divergent ist??

Ja. Etwas salopp gesagt: wenn der Limes existiert und ungleich Null ist, addierst du den ja "bis auf ein kleines Epsilon" bei jedem neuen Glied der Partialsummenfolge.

Grüße Abakus smile

smile

30.01.2007, 21:11

gibson

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ok vielen dank, ihr ward mir eine große hilfe.
Trotzdem glaube ich, dass ich das Beispiel mit der Konvergenz sicher verhaun werd bei der Prüfung unglücklich

unglücklich

Eine Frage hab ich noch:
Inwiefern darf man Majoranten-, Minoranten-, Quotienten- und Wurzelkriterium gemischt anwenden?
Darf man zB zuerst das Quotientenkrit. anwenden, um einiges zu "kürzen" und anschließend das Majorantenkriterium?

30.01.2007, 21:28

therisen

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Was sollte das bringen? Macht keinen Sinn.

30.01.2007, 21:36

gibson

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doch, hatte da gerade son beispiel.
Hier habe ich auf das Quotientenkriterium angewendet und anschließend das Majorantenkriterium. Dann bildete ich den Grenzwert und raus kam unendlich => divergent

30.01.2007, 21:55

therisen

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Das Quotientenkriterium nimmt aber keine Umformung an deiner Reihe vor. Poste mal, was du gerechnet hast, dann zeige ich dir, dass es entweder keinen Sinn ergibt oder du Begrifflichkeiten verwechselst Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2007, 22:10

gibson

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ok.
Ich weiß echt nicht, wann ich was anwenden soll. Bei den Übungen habe ich das meiste geschafft, aber jetzt rechne ich gerade alte klausuren, da hab ich bis jetzt noch keins geschafft!

Also hier das Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(n+1)!}{\sqrt(n)*5^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(n+1)!}{\sqrt(n)*5^n} \end{eqnarray*}$
Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}/a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{(n+2)!}{\sqrt({n+1})*5^{n+1}} } { \frac{(n+1)!}{\sqrt(n)*5^n} } = \frac{(n+2)*\sqrt(n)}{5*\sqrt(n+1)} \leq \frac{(n+2)*\sqrt(n)}{5*\sqrt(n)} =\frac{n+2}{5} \end{eqnarray*}$
Davon ist der Grenzwert unendlich => Reihe ist divergent

30.01.2007, 22:16

therisen

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Zitat:

Original von gibson
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)*\sqrt(n)}{5*\sqrt(n+1)}\leq\frac{(n+2)*\sqrt(n)}{5*\sqrt(n)}=\frac{n+2}{5} \end{eqnarray*}$
Davon ist der Grenzwert unendlich => Reihe ist divergent

Das ist nicht das Majorantenkriterium! Das ist einfach eine Abschätzung von Folgen.

Gruß, therisen

30.01.2007, 22:34

gibson

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achso, aber es stimmt?

30.01.2007, 22:38

therisen

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Deine Abschätzung ist zwar richtig, aber die Schlussfolgerung, dass deine Folge daher divergiert, ist grob falsch. Betrachte als weiteres Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq n \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)\sqrt{n}}{5\sqrt{n+1}} = \infty \end{eqnarray*}$ stimmt, du musst das nur anders begründen.

Gruß, therisen

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