Reihe: Konvergenz/Divergenz

05.07.2012, 21:17

Udopia

Reihe: Konvergenz/Divergenz

N’Abend zusammen!

Ich hänge beim Nachweis der Konvergenz/Divergenz folgender Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2\left(\sqrt[n]{n}-1\right)} \end{eqnarray*}$

und hoffe auf eine zündende Idee!!!

05.07.2012, 21:39

Zizou66

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Du kannst das Quotientenkriterium nutzen.

05.07.2012, 22:04

Udopia

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Zitat:

Original von Zizou66
Du kannst das Quotientenkriterium nutzen.

Aber damit erhalte ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1 \end{eqnarray*}$ was keine Aussage gestattet.

05.07.2012, 22:52

Zizou66

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Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ sein?

Und ich bekomme dafür auch etwas anderes raus. Zeig doch mal, was du da machst Augenzwinkern

05.07.2012, 23:51

Udopia

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Ja - aber hier ist es doch egal ob $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ oder der Kehrwert davon betrachtet wird, denn wie schon gesagt ist offensichtlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1. \end{eqnarray*}$

Vielleicht zeigst Du mal, was Du da machst... Augenzwinkern

Ich bin mir sicher, daß das Quotientenkriterium hier nicht hilft und wäre immer noch dankbar für zielführenden Input.

06.07.2012, 10:15

Zizou66

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Also ich mache da:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2\left(\sqrt[n]{n}-1\right)}{(n+1)^2\left(\sqrt[n+1]{n+1}-1\right)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt würde ich gerne sehen, wie du hier weitermachst. Was schätzt du ab, usw. Nur wenn du das mal zeigst, kann ich dir auch sagen, was man anders machen kann um zu einer Lösung zu kommen.

06.07.2012, 10:31

Valdas Ivanauskas

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Vielleicht solltest Du die vorliegende Reihe zunächst mit einer geeigneten Abschätzung etwas gefügiger machen.

Dabei könntest Du versuchen den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$

zu beseitigen, um letztendlich eine div. Minorante zu gewinnen.

Aber Vorsicht, die aus dem binomischen Lehrsatz folgende Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}-1\leq \frac 2{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

mit der man den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ zeigen kann, ist hier zu schwach und führt zu einer konv. Minorante.

06.07.2012, 14:03

HAL 9000

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(Ich ziehe meinen Beitrag zurück. Ähnelte der Idee von Valdas I., seine Abschätzung ist aber letztlich überzeugender, weil für alle n>1 gültig.)

06.07.2012, 14:12

Udopia

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So ganz offensichtlich ist es dann doch nicht aber für $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^2\leq\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

ich hab aber keine Lust mir jetzt einen abzubrechen das genau zu beweisen, weil mit dem Ergebnis ja eh nix anzufangen wäre.

Was die Abschätzung von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ angeht, da hab ich jetzt keinen Plan.
Wenn’s mit dem binomischen Lehrsatz nicht geht wie denn dann?

06.07.2012, 14:41

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Udopia
...
ich hab aber keine Lust mir jetzt einen abzubrechen das genau zu beweisen, weil mit dem Ergebnis ja eh nix anzufangen wäre.

Genau, vergiss das Quot.-Krit. hier mal.

Zitat:

Original von Udopia
Was die Abschätzung von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ angeht, da hab ich jetzt keinen Plan.
Wenn’s mit dem binomischen Lehrsatz nicht geht wie denn dann?

Wie wär's mit

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x~? \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung sollte geläufig sein und damit folgt z.B.:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}-1\leq\frac 1{\frac n{\ln(n)}-1}. \end{eqnarray*}$

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