Gleichungssystem lösen

05.07.2012, 21:17

Orchidee176

Gleichungssystem lösen

Hallo,

ich habe hier ein Gleichungssystem, welches ich partout nicht lösen kann.

K1 = 83500 + 0,25K2 + 0,25K3
K2 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3
K3 = 835000 + 0,2K1 + 0,4K2

Auszurechnen sind nun K1, K2 und K3. Folgende Lösungen hierbei gegeben:
K1 = 581000
K2 = 742000
K3 = 1248000

Leider schaffe ich es irgendwie nicht, dass Gleichungssystem zu lösen. Habe es über das Einsetzverfahren sowie über das Additionsverfahren versucht, aber irgendwie geht es nie weiter.

Mein Ansatz über das Additionsverfahren:

1.) 1./2. Zeile gleichsetzen und 0,2K1 rauswerfen:
K2 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3 |*(-1)
K3 = 835000 + =,2K1 + 0,4K2

-->

-K2 = -501000 - 0.2K1 - 0.1K3
K3 = 835000 + =,2K1 + 0,4K2

--> zusammen addieren

-K2 + K3 = 334000 - 0,1K3 + 0,4K2 | + K2
K3 = 334000 - 0,1K3 + 1,4 K2 | + 0,1 K3
1,1 K3 = 334000 + 1,4 K2 | / 1,1
K3 = 303636,3636 + $\begin{eqnarray*} \frac{14}{11} \end{eqnarray*}$

Bereits hier kommen sehr krumme Zahlen raus und wenn ich weiterrechne, ist das Ergebnis am Ende falsch. Wo habe ich denn bereits hier den Fehler gemacht?

Danke,
Orchidee

05.07.2012, 21:20

Orchidee176

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RE: Gleichungssystem lösen
Hinter die $\begin{eqnarray*} \frac{14}{11} \end{eqnarray*}$ gehört noch ein K2, sorry!

Orchidee

05.07.2012, 21:27

sulo

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RE: Gleichungssystem lösen
Soweit sieht es gut aus. Freude

Ich weiß nicht, ob es der beste Weg ist, den du gewählt hast, aber einen Fehler hast du nicht gemacht.

smile

05.07.2012, 21:55

Orchidee176

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Hallo sulo,

Danke für deine Antwort smile

So geht meine Rechnung weiter:

Gleichsetzung von 1./2. Gleichung um K1 rauszuwerfen. Dazu zunächst eine Umstellung beider Gleichungen:

0 = 835000 + 0,25K2 + 0,25K3 - K1 |*0,2
0 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3 - K2

-->

0 = 167000 + 0,05K2 + 0,05K3 - 0,2K1
0 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3 - K2

--> addieren

0 = 668000 - 0,95K2 + 0,15K3

--> umstellen nach K3 = ...

0 = 668000 - 0,95K2 + 0,15K3 | - 0,15K3
- 0,15K3 = 668000 - 0,95K2 | / (-0,15)
K3 = -4453333,333 + $\begin{eqnarray*} \frac{19}{3} \end{eqnarray*}$ K2

--> Nun diese sowie die zuvor im ersten Post ausgerechnete Gleichung nehmen und gleiches Procedere um K3 rauszuwerfen. Beide habe ich wieder nach 0 =... umgestellt.

0 = -4453333,333 + $\begin{eqnarray*} \frac{19}{3} \end{eqnarray*}$ K2 - K3
0 = 303636,3636 + $\begin{eqnarray*} \frac{14}{11} \end{eqnarray*}$ - K3 | * (-1)

--> da sich bei der unteren Gleichung alle Vorzeichen ändern, beide Gleichungen addieren.

0 = -4756969,697 + $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$ K2

--> Umstellen nach K2 = ...

- $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$ K2 = -4756969,697 |/(- $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$

--> durch $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$ teilen.

K2 = 940000

Da kommt zwar eine wunderbar runde Zahl raus, die aber leider nicht richtig ist.
Sieht jemand den Fehler?

Danke
Orchidee

edit von sulo: Latex-Klammern korrigiert.

05.07.2012, 22:02

sulo

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Zitat:

0 = 835000 + 0,25K2 + 0,25K3 - K1 |*0,2

Du hast hier einen Irrtum, als die Zahl 83500 heißen muss.
Die größere Zahl gehört in die dritte Gleichung.

Könnte sein, dass dies schon die Ursache deines Problems ist.

smile

05.07.2012, 22:03

Orchidee176

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Oh mann, mit der Formatierung habe ich es offenbar nicht so ganz.

Hier nun nochmal und mit der Vorschau abgesichert, entschuldigt bitte:

-------------------------------------------------------------------------------

Hallo sulo,

Danke für deine Antwort smile

So geht meine Rechnung weiter:

Gleichsetzung von 1./2. Gleichung um K1 rauszuwerfen. Dazu zunächst eine Umstellung beider Gleichungen:

0 = 835000 + 0,25K2 + 0,25K3 - K1 |*0,2
0 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3 - K2

-->

0 = 167000 + 0,05K2 + 0,05K3 - 0,2K1
0 = 501000 + 0,2K1 + 0,1K3 - K2

--> addieren

0 = 668000 - 0,95K2 + 0,15K3

--> umstellen nach K3 = ...

0 = 668000 - 0,95K2 + 0,15K3 | - 0,15K3
- 0,15K3 = 668000 - 0,95K2 | / (-0,15)
K3 = -4453333,333 + $\begin{eqnarray*} \frac{19}{3} \end{eqnarray*}$ K2

--> Nun diese sowie die zuvor im ersten Post ausgerechnete Gleichung nehmen und gleiches Procedere um K3 rauszuwerfen. Beide habe ich wieder nach 0 =... umgestellt.

0 = -4453333,333 + $\begin{eqnarray*} \frac{19}{3} \end{eqnarray*}$ K2 - K3
0 = 303636,3636 + $\begin{eqnarray*} \frac{14}{11} \end{eqnarray*}$ K2 - K3 | * (-1)

--> da sich bei der unteren Gleichung alle Vorzeichen ändern, beide Gleichungen addieren.

0 = -4756969,697 + $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$ K2

--> Umstellen nach K2 = ...

- $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$ K2 = - 4756969,697 |/- $\begin{eqnarray*} \frac{167}{33} \end{eqnarray*}$

K2 = 940000

Da kommt zwar eine wunderbar runde Zahl raus, die aber leider nicht richtig ist.
Sieht jemand den Fehler?

Danke
Orchidee