Moduln über HIR, Elementarteiler

06.07.2012, 10:06	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Moduln über HIR, Elementarteiler Hier ist ein Beweisschritt zum Beweis der Eindeutigkeit der Elementarteiler eines Moduls, den ich nicht verstehe: Für $\begin{eqnarray} N=R/xR \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ ), betrachte $\begin{eqnarray} N_{p,k}:=p^{k-1}N/p^kN \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass das ein $\begin{eqnarray} R/pR \end{eqnarray}$ -Vektorraum ist. Und für $\begin{eqnarray} p^k\mid x \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} N_{p,k}\cong \left(p^{k-1}R/(p^{k-1}R\cap xR)\right) / \left(p^kR/ (p^kR\cap xR)\right)\cong\left(p^{k-1}R/ kgV(p^{k-1},x)R\right) / (p^k R/ kgV(p^k,x)R) \cong p^{k-1}R/p^k R\cong R/pR \end{eqnarray}$ OK. Nun soll aber für $\begin{eqnarray} p^k\nmid x \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} N_{p,k} \cong 0 \end{eqnarray}$ Das ist der Teil, den ich nicht verstehe.
06.07.2012, 16:29	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch vergessen zu erwähnen: p ist ein Primelement von R.
07.07.2012, 13:03	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es jetzt. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist ein Nichtnullteiler für den Modul $\begin{eqnarray} p^{k-1}N \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} pp^{k-1}[y]=0 \end{eqnarray}$ würde bedeuten es gibt a mit $\begin{eqnarray} ax=p^ky \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} p\cdot p^{k-1}N\cong p^{k-1}N \end{eqnarray}$ und der Faktormodul ist 0.
07.07.2012, 13:25	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
(Ich schreibe noch den Rest des Beweises auf mehr für mich zum Verständnis.) Für $\begin{eqnarray} M\cong \bigoplus_{i=1}^k R/e_i R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e_i\mid e_{i+1} \end{eqnarray}$ ist für jedes Primelement p : $\begin{eqnarray} p^k\mid e_i\Rightarrow p^k\mid e_{i+1} \end{eqnarray}$ d.h. die Dimension von $\begin{eqnarray} p^kM/p^{k-1}M \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} R/pR \end{eqnarray}$ -Vektorraum gibt nach der Überlegung eindeutig an, für wie viele und damit für welche der $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} p^k\mid e_i \end{eqnarray}$ Daher sind die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ bis auf Assoziiertheit eindeutig durch M bestimmt. (sogar falls manche der $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ Einheiten oder 0 sind, aber das ist nicht so interessant) Genauso wird klar, dass wenn man $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ als Summe von Moduln der Form $\begin{eqnarray} R/p^kR \end{eqnarray}$ schreibt, die Anzahl der vorkommenden Summanden des Typs $\begin{eqnarray} R/p^k R \end{eqnarray}$ für zwei feste p,k eindeutig durch M bestimmt sind (nämlich als Anzahl der $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} p^k\mid e_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_i\neq 0 \end{eqnarray}$ ).

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