Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

06.07.2012, 10:17

Studiosus01

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x) := x^2cos(\frac{1}{x}), falls x \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) := 0, falls x = 0 \end{eqnarray*}$

i) Zeigen Sie, dass die Funktion auf ganz R stetig und differenzierbar ist.

ii) Zeiegen Sie, das f' in 0 nicht stetig ist.

Meine Ideen:
i) Für x != 0 ist f(x) als Komoposition stetiger Funktionen stetig.

Zeige, dass f(x) auch in x=0 stetig ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2cos(\frac{1}{x})=0 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

=> stetig im Punkt x = 0.

Differenzierberkeit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2cos(\frac{1}{x})-0 }{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\cdot cos(\frac{1}{x})}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt weiter? und ist das bis dahin schonmal richtig?

06.07.2012, 10:34

shipwater

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen
Hallo,

Zitat:

Original von Studiosus01
Zeige, dass f(x) auch in x=0 stetig ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2cos(\frac{1}{x})=0 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist zwar richtig, aber ich kann nicht nachvollziehen wie du auf $\begin{eqnarray*} =0 \cdot 1 \end{eqnarray*}$ kommst. Immerhin existiert ja der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ nicht. Du solltest hier lieber $\begin{eqnarray*} \left|x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \end{eqnarray*}$ betrachten und nach oben abschätzen. Dabei kannst du $\begin{eqnarray*} \left|\cos(x)\right| \leq 1 \end{eqnarray*}$ verwenden. Oder alternativ kannst du auch den Satz benutzen, dass das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ergibt, falls ihr diesen schon bewiesen habt.
Bei der Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ dann das gleiche mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

06.07.2012, 11:06

Studiosus01

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Zitat:

Original von shipwater
Hallo,
Oder alternativ kannst du auch den Satz benutzen, dass das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ergibt, falls ihr diesen schon bewiesen habt.

Ja, ich meine den hatten wir schon!

also einfach lim x->0 von x^2*cos(1/x9 = 0 und dann noch den Satz dahinter!

Nur zum Thema Abschätzen! Ich kann dabei nie so richtig nachvollziehen, was man da eigentlich genau macht. Kann mir das noch jemand erklären, wie ich dabei genau vorgehe und wo es drauf ankommt.

06.07.2012, 11:29

shipwater

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Bevor du den Satz anwenden kannst, musst du erstmal Folgen haben. Du kannst aber sagen, dass für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)=x_n^2 \cos\left(\frac{1}{x_n}\right) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$
Laut Grenzwert-Definition heißt das ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
Und mit abschätzen meinte ich einfach folgendes:
$\begin{eqnarray*} \left|x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right|=x^2 \left|\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \end{eqnarray*}$ und jetzt einfach die Beschränktheit des Kosinus, also $\begin{eqnarray*} |\cos(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ ausnutzen.

Gruß Shipwater

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