Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?

06.07.2012, 13:42

Eric1102

Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?

Meine Frage:
Ich habe zwei Folgen. a_n= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und a_n = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Im Skript steht: Die Folge a_n= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, denn für jedes beliebig vorgegebene aber feste epsilon > 0 gilt:

und sie beginnt mit n > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{epsilon} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Folge jedoch beginnt es mit n > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{epsilon²} \end{eqnarray*}$
Warum beginnt es einmal so und einmal so?

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht wie man auf den Ansatz kommt.

06.07.2012, 13:47

eric1102

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?
[attach]25210[/attach]
hier nochmal genauer

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt.
Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

06.07.2012, 13:54

Cheftheoretiker

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?
Hi,

der Beweis läuft über das Epsilon Kriterium.

Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ s.d. gilt, $\begin{eqnarray*} |a_n-g|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>N_0 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße, hangman! Wink

06.07.2012, 14:00

eric1102

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?
und warum einmal mit quadrat und einmal ohne?

06.07.2012, 14:02

Cheftheoretiker

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?
Naja, um nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen, muss nunmal quadriert werden. Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman! Wink

06.07.2012, 15:03

eric1102

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?

Zitat:

Original von Eric1102
Meine Frage:
Ich habe zwei Folgen. a_n= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und a_n = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Im Skript steht: Die Folge a_n= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, denn für jedes beliebig vorgegebene aber feste epsilon > 0 gilt:

und sie beginnt mit

Bei der zweiten Folge jedoch beginnt es mit n > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{epsilon²} \end{eqnarray*}$
Warum beginnt es einmal so und einmal so?

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht wie man auf den Ansatz kommt.

Mh. Also ich habe a_n = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .
Aufgrund der Definition ist |a_n| < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$
Das sehe ich aber auf dem Bild irgendwo in der Mitte zwischen
" n > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon²} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \epsilon² \end{eqnarray*}$ => " und " => 0 < a_n < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ => a_n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ "( $\begin{eqnarray*} -\epsilon,+\epsilon \end{eqnarray*}$ )

Fange ich von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ in der Mitte an und gehe dann nach links und nach rechts? Oder beginne ich direkt ganz links, da weiß ich jedoch nicht woher ich weiß was mein Ansatz ist.

06.07.2012, 15:53

Cheftheoretiker

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RE: Konvergente Folgen, warum 1/e bzw 1/e²?
Du hast nun folgenden Ausdruck,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun qudrierst du,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\epsilon^2 \end{eqnarray*}$

Und stellst nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ um.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon^2}<n \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun garnicht wo das Problem liegt? verwirrt

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