Abstand windschiefer Geraden

06.07.2012, 14:38	Kati00	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden Meine Frage: Hallo, Hier ist sehr schön beschrieben, wie man den Abstand von windschiefen Geraden berechnet. Das was ich daran nicht verstehe ist, warum kann man bei $\begin{eqnarray} HNF: \begin{vmatrix} \frac{22x_1 + 2x_2 + 37x_3 - 81}{\sqrt{1857} } \end{vmatrix} = d \end{eqnarray}$ sagen, dass das gleich der Abstand d ist? Meine Ideen:
06.07.2012, 16:01	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir meine Skizze zur Veranschaulichung: [attach]25209[/attach] P ist der Stützpunkt der Ebene und bestimmt werden soll der Abstand vom Punkt X zur Ebene. Außerdem sei $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \end{eqnarray}$ ein Normaleneinheitsvektor der Ebene. Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX} \end{eqnarray}$ kannst du nun vereinfachen: $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}=\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \left(\stackrel{\rightarrow}{a}+\stackrel{\rightarrow}{b}\right)=\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{a}+\underbrace{\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot\stackrel{\longrightarrow}{b}}_{=0}=\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{a}=\left\|\stackrel{\longrightarrow}{n_0}\right\| \cdot \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha=\angle \left(\stackrel{\longrightarrow}{n_0},\stackrel{\longrightarrow}{a}\right) \end{eqnarray}$ Wie du der Skizze entnehmen kannst, steht der Vektor $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{a} \end{eqnarray}$ senkrecht zur Ebene, ist also parallel zu $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \end{eqnarray}$ . Je nachdem ob $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \end{eqnarray}$ in die Richtung vom Punkt X oder in die andere Richtung zeigt gilt damit $\begin{eqnarray} \alpha=0° \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \alpha=180° \end{eqnarray}$ . Desweiteren gilt ja $\begin{eqnarray} \left\|\stackrel{\longrightarrow}{n_0}\right\|=1 \end{eqnarray}$ also für das Skalarprodukt dann: $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}= \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \cdot \cos(0°)=\left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}= \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \cdot \cos(180°)=- \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \end{eqnarray}$ Insgesamt jedenfalls $\begin{eqnarray} \left\|\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}\right\|= \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \left\|\stackrel{\longrightarrow}{a}\right\| \end{eqnarray}$ ist ja nun auch genau der Abstand vom Punkt X zur Ebene. Zuletzt kannst du $\begin{eqnarray} \left\|\stackrel{\longrightarrow}{n_0} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}\right\|=\left\|\frac{\stackrel{\longrightarrow}{n}}{\left\|\stackrel{\longrightarrow}{n}\right\|} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{PX}\right\| \end{eqnarray}$ noch komponentenweise betrachten, ausmultiplizieren und dann solltest du die gesuchte Formel erhalten. Gruß Shipwater

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »