2. Ableitung nach Quotientenregel

06.07.2012, 14:40

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

2. Ableitung nach Quotientenregel

Meine Frage:
Hallo,
habe Probleme bei der zweiten Ableitung folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} F'=\frac{60(cos(x)-sin(x)}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Zweite Ableitung soll lauten:
$\begin{eqnarray*} F''=\frac{-120*cos(x)}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der 2. Ableitung wende ich die Quotientenregel an.
Nach der Ableitung habe ich den Therm:
$\begin{eqnarray*} F''=\frac{60-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$
( $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ bereits gekürzt, $\begin{eqnarray*} (cos(x)-sin(x) \end{eqnarray*}$ gibt abgeleitet 1 da Potenz 1 ist. Habe ich hier bereits einen Fehler gemacht?

06.07.2012, 15:03

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ich persönlich mag die Quotientenregel nicht so sehr...

Versuchs doch alternativ mit der Produkt und Kettenregel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht klappt's dann besser.

Als Tipp:
Erstmal den Zähler ausmultiplizieren.

Gruß, Wink

Wink

thechus

06.07.2012, 15:05

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Update:

$\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*(-sin(x)*(-cos(x)-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Hatte die Innere Ableitung oben vergessen, aber komme trotzdem nicht weiter

06.07.2012, 15:19

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2. Ableitung nach Quotientenregel
Hmm... da ist ein Vorzeichenfehler drin smile

smile

Versuchs noch einmal ganz langsam und strukturiert.
Hier ein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 60 ((cos(x) - sin(x)) \cdot e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Die 60 doch nicht ausmultiplizieren.

Gruß,
thechus

06.07.2012, 15:32

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre doch dann nach Ketten- & Produktregel:
$\begin{eqnarray*} 60*(-sin(x))*(-cos(x))*e^{-x} + 60(cos(x)-sin(x))*(-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Und wie komme ich dann weiter? Solangsam bin ich verwirrt Big Laugh

Big Laugh

06.07.2012, 15:35

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

Scheib' den Term nun als Bruch und achte dabei auf das Minuszeichen bei

$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$

Der Rest geht wie von selbst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
thechus

Anzeige

06.07.2012, 15:46

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja dann bin ich ja wieder auf meiner Gleichung von vorhin?
Also $\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*(-sin(x)*(-cos(x)-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen ziehe ich ja vor die 60 ? Sorry wenn ich mich dumm anstelle verwirrt

verwirrt

06.07.2012, 15:49

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach

geschockt

Das ist doch richtig.
Das eben war auch richtig... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich hab das Minuszeichen nicht gesehen Big Laugh

Big Laugh

Sorry.

Versuch mal die 60 aus zu multiplizieren und achte auf die Vorzeichen.
Dann isses' geschafft. Freude

Freude

Gruß und Sorry,
thechus

06.07.2012, 16:04

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe kein Problem, Übung schadet ja nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay aber genau hier liegt ja mein Problem auf den angegebenen Therm zu kommen,
Ich komme hier nach Umformung dann auf:
$\begin{eqnarray*} F''= \frac{-60(sin(x)cos(x) + (-cos(x)+sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Mit Additionstheorem kann ich dann noch $\begin{eqnarray*} sin(x)cos(x) = 0,5(sin(2x)) \end{eqnarray*}$ vereinfachen, aber weiter komme ich nicht...

06.07.2012, 16:10

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ui... der kompliziert denkende Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau mal: Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a (b + c) = ab + ac \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a (b + c) = -ab - ac \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a (b - c) = -ab + ac \end{eqnarray*}$

Wobei ich glaube, dass du die Klammern falsch gesetzt hast. Kann das sein?

Zitat:

Original von derTyp
Naja dann bin ich ja wieder auf meiner Gleichung von vorhin?
Also $\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*(-sin(x)*(-cos(x)-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

(

$\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*(-sin(x)+(-cos(x))-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Oder auch:

$\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*((-sin(x)+(-cos(x))-(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft das smile

smile

Ich glaube, dass du nur nen kleinen Denkfehler hast.

Gruß,
thechus

06.07.2012, 17:00

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich sehe das einfach nicht wie ich das auf den Therm durch Ausklammern umformen kann...

Danke für deine Hilfe...

06.07.2012, 17:16

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

keine Panik das bekommen wir hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} F''= \frac{60*((-sin(x)+(-cos(x))-(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Erster (halbe) Schritt:

$\begin{eqnarray*} F''= \frac{-60sin(x)- 60cos(x)-60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Gruß,
thechus

06.07.2012, 17:39

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt ich sehe hier einfach nicht wie ich das auf die geforderte Form umstellen soll...

06.07.2012, 17:59

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2. Ableitung nach Quotientenregel
Na gut, dann nochmal ganz von vorne:

Die Zweite Ableitung soll lauten:
$\begin{eqnarray*} F''=\frac{-120*cos(x)}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F''=\frac{-120*cos(x)}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{60(cos(x)-sin(x))}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 60(cos(x) - sind(x)) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Produktregel:

$\begin{eqnarray*} 60(cos(x) - sin(x)) \frac{d}{dx} e^{-x} + (\frac{d}{dx} cos(x) - \frac{d}{dx} sin(x)) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 60(cos(x) - sin(x)) \cdot -e^{-x} + (- cos(x) - sin(x)) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Minuszeichen raus ziehen:

$\begin{eqnarray*} -60(cos(x) - sin(x)) \cdot e^{-x} + 60(- cos(x) - sin(x)) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$
Als Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{-60(cos(x) - sin(x) + 60(- cos(x) - sin(x) }{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-60cos(x) + 60sin(x) - 60cos(x) - 60sin(x) }{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt zusammenfassen.

Gruß,
thechus

06.07.2012, 18:04

derTyp

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab es gerade gesehen *Kopfschüttel* Vor lauter ableiten und ausklammern und Additionstheoremen das zusammenfassen nicht auf die Reihe gebracht Big Laugh

Big Laugh

Danke dir

06.07.2012, 18:09

thechus

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe

Big Laugh

Derart Probleme kenne ich nur zu gut...

Aber gern geschehen. smile

smile

Gruß,
thechus

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »