Lineare Abbildung, Bild und Kern berechnen

06.07.2012, 15:49

blahbel

Lineare Abbildung, Bild und Kern berechnen

Hallo,

habe folgende Aufgabe bekommen, habe außerdem eine Lösung von einem Komilitonen die meiner Lösung widerspricht und frage mich jetzt welche richtig ist und ob mein Lösungsweg so korrekt ist:

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$ und phi (X) = AXA. phi ist linear.
Ich soll jetzt eine Basis von Kern und Bild angeben.

Ich habe die Abbildung auf die Vektoren der Standardbasis angewendet und die Ergebnisse als Koordinatenvektoren in die Spalten einer neuen Matrix geschrieben, so das ich raushatte phi = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann habe ich den Kern dieser Matrix berechnet und das Ergebniss in Koordinatenvektoren dann wieder in 2x2 matrizen umgewandelt so das ich als basis des kerns habe: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Um das Bild zu berechnen habe ich phi mit einem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziuert, als Ergebnis hatte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ d \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , daraus habe ich die Basis des Bildes $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 &0 \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gefolgert.

Die andere Lösung sagt Basis des Bildes ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und Basis des Kerns ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist meine Lösung richtig oder die andere, und wenn die andere, wie komme ich da hin?

Danke für jede Hilfe :-)

06.07.2012, 16:23

Captain Kirk

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Hallo,

Mal zur Klärung:
Was ist Quelle (Definitonsmenge) was ist Ziel (Wertemenge) der Abbildung?
(Eine Abbildung besteht immer aus Abbildungsvorschrift, Quelle und Ziel. Keines davon darf bei der Definition weggelassen werden.)

Zitat:

Vektoren der Standardbasis

Sofern du keinen $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ hast gibt's nicht unbedingt eine Standardbasis. Beim $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ wüsste ich a priori nicht welche Basis die Standardbasis sein soll.

Da $\begin{eqnarray*} dim_{\mathbb R} ( \mathbb R^{2\times 2})=4 \end{eqnarray*}$ und Dimensionsatz gilt (bei richtigem Raten der Aufgabenstellung) dim(Kern)+dim(Bild)=4 damit schiede die andere Lösung a priori aus.

06.07.2012, 16:33

blahbel

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Quelle und Ziel ist beides R^2x2
Standardbasis ist so weit ich weiß $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 &01 \\ 0 &0 \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 1 &0 \end{pmatrix},~ \begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

06.07.2012, 16:39

Captain Kirk

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Dann krieg ich
phi = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Und damit nur ein 1-dimensionales Bild.

06.07.2012, 16:49

blahbel

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Hallo, habe mich wohl verrechnet. Ich habe dann mit dem gleichen Verfahren als Bild $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und als Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 &0 \\ -1 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.07.2012, 16:54

Captain Kirk

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Sehe ich auch so.
Und wie bei jedem guten Kompromiss hatten also sowohl du als auch dein Komilitone gleichmäßig (Un-)Recht. Augenzwinkern

06.07.2012, 16:57

blahbel

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:-D
Danke für deine Hilfe :-)

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