Logarithmusgleichung - Das Mysterium

06.07.2012, 14:05	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusgleichung - Das Mysterium Hey, ich brüte hier über folgende Aufgabe... $\begin{eqnarray} 2^{x-1} - 3^{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(2^{x-1}) - ln(3^{x}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x - 1) ln(2) - x ln(3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x ln(2) - ln(2)- x ln(3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - x = \frac{ln(2)}{ln(2) - ln(3)} \end{eqnarray}$ In der Lösung steht aber: $\begin{eqnarray} x = \frac{ln(2)}{ln(2) - ln(3)} \end{eqnarray}$ Wo ist denn da mein Fehler? Hmm.. Danke für eure Hilfe. Gruß, thechus
06.07.2012, 14:09	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Fehler liegt bereits im ersten Schritt, denn es gilt im Allgemeinen $\begin{eqnarray} \ln(a-b) \neq \ln(a)-\ln(b) \end{eqnarray}$ . Das korrekte Logarithmengesetz lautet $\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \end{eqnarray}$ . Und außerdem müsstest du dann auch auf der rechten Seite den natürlichen Logarithmus ziehen und da kriegst du dann richtige Probleme, weil $\begin{eqnarray} \ln(0) \end{eqnarray}$ ja nicht definiert ist. Ich würde zuerst die $\begin{eqnarray} 3^x \end{eqnarray}$ auf die andere Seite bringen. Edit: Eventuell habe ich deine Rechnung auch falsch interpretiert und du hast eigentlich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} 2^{x-1}-3^x=0 \Leftrightarrow 2^{x-1}=3^x \Leftrightarrow \ln(2^{x-1})=\ln(3^x) \Leftrightarrow \ln(2^{x-1})-\ln(3^x)=0 \end{eqnarray}$ Hier sieht man, dass die Umformung letztlich also doch richtig ist. Ausgehend von deiner 4.Zeile ergibt sich dann weiter: $\begin{eqnarray} x\ln(2)-\ln(2)-x\ln(3)=0 \Leftrightarrow x(\ln(2)-\ln(3))=\ln(2) \Leftrightarrow x=\frac{\ln(2)}{\ln(2)-\ln(3)} \end{eqnarray}$ Ach was für Zufälle es denn gibt. Gruß Shipwater
06.07.2012, 14:21	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmusgleichung - Das Mysterium Hmmm.... $\begin{eqnarray} 2^{x-1} - 3^{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{x-1} = 3^{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(2^{x-1}) = ln(3^{x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x - 1) ln(2) = x ln(3) \end{eqnarray}$ Ab hier wird alles unlogisch, was ich mir im Kopf ausmale... Kann man $\begin{eqnarray} (x - 1)ln(2) \end{eqnarray}$ überhaupt ausmultiplizieren? Wenn ja, dann mache ich das sicher falsch... Autsch... Danke für deine Hilfe. Gruß, thechus
06.07.2012, 14:23	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab oben nochmal editiert. Tatsächlich ist der Schritt von Zeile 1 zu Zeile 2 sogar korrekt. Da haben sich zwei Fehler von dir wohl gegenseitig aufgehoben, wenn ich das richtig interpretiere. Gruß Shipwater
06.07.2012, 14:25	thechus	Auf diesen Beitrag antworten »
AUSKLAMMERN! AHHH wie ich sowas nie sehe.... Danke dir vielmals! Gruß, thechus
06.07.2012, 14:27	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache
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