Itô-Formel

07.07.2012, 11:18

peculiar

Itô-Formel

Hi,

sei $\begin{eqnarray*} Y_t = sin(B_t*t) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ die Brownsche Bewegung ist, dann gilt laut meiner Musterlösung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial Y}{\partial x} (t, B_t)dB_t = cos(tB_t)t dB_t dt. \end{eqnarray*}$

Ich komme aber auf: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial Y}{\partial x} (t, B_t)dB_t = cos(tB_t)t dB_t dB_t \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} (dB_t)^2 = dt \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} cos(tB_t)t dt \end{eqnarray*}$ . Was übersehe ich hier also?

07.07.2012, 19:06

speedyschmidt

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RE: Itô-Formel
Du betrachtest einfach
$\begin{eqnarray*} F(t,x)= sin(x*t) \end{eqnarray*}$
und berechnest
$\begin{eqnarray*} F_x(t,x)= t*cos(x*t) \end{eqnarray*}$ ,
was dann
$\begin{eqnarray*} F_x(t, B_t)dB_t = cos(tB_t)\cdot t dB_t \end{eqnarray*}$
liefert.

Die anderen Terme in der Itô-Formel berechnest Du dann analog, wüsste jetzt nicht, wie man da auf andere Ergebnisse kommen kann...

sry

08.07.2012, 11:40

peculiar

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RE: Itô-Formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_x(t, B_t)dB_t = cos(tB_t)\cdot t dB_t \end{eqnarray*}$

Ach so, ich dachte die innere Ableitung von $\begin{eqnarray*} cos(tB_t) \end{eqnarray*}$ ist selbst schon $\begin{eqnarray*} t dB_t \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ hängt ja auch noch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab?!

08.07.2012, 20:07

speedyschmidt

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Nein, man betrachtet wirklich $\begin{eqnarray*} F_x(t,B_t) \end{eqnarray*}$ . Du leitest das original-F, also $\begin{eqnarray*} \sin(tx) \end{eqnarray*}$ in Deinem Fall, ganz normal ab
Kannst Dir ja mal die Wikiseite anschauen
http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_It%C5%8D

Alternativ liest Du nochmal den Beweis durch, den Ihr hattet.

10.07.2012, 22:42

peculiar

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Nur noch mal zur Sicherheit: Meine MuLö ist dann aber auch falsch oder? Dein Ergebnis kann ich nachvollziehen, aber in der MuLö wird dieser Term zu $\begin{eqnarray*} \frac{\partial Y}{\partial x} (t, B_t)dB_t = cos(tB_t)t dB_t dt. \end{eqnarray*}$ . Ich kann mir aber beim besten Willen nicht erklären, wo das dt am Ende noch herkommen soll. Die Lösungen sind allerdings voller solcher Fehler, wundern würde es mich also nicht Augenzwinkern

Laut rechenregel ist nämlich auch $\begin{eqnarray*} dtdB_t = 0 \end{eqnarray*}$

11.07.2012, 00:44

speedyschmidt

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Jupp, die Mulö ^^ ist falsch. $\begin{eqnarray*} dtdB_t=0 \end{eqnarray*}$ brauchste eigentlich immer nur im letzten Teil der Formel, wenn ich mich nicht irre. Der mit der zweiten Ableitung.

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