Transformation Kugel -> Ellipsoid

07.07.2012, 11:51	nudel_suppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation Kugel -> Ellipsoid Meine Frage: Hallo zusammen, es geht um folgendes Problem: Ich möchte das Volumen eines Ellipsoids E $\begin{eqnarray} \left( vol(E)=\frac{4}{3} \pi abc \right) \end{eqnarray}$ aus dem Volumen der Einheitskugel K $\begin{eqnarray} \left( vol(K) = \frac{4}{3} \pi \right) \end{eqnarray}$ berechnen. Meine Ideen: Eigentlich sollte das ja über die Transformationsformel im Mehrdimensionalen funktionieren. Hier mein Ansatz: $\begin{eqnarray} K = \left\{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E = \left\{ (x,y,z) : \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{z}{v}\right)^2 \leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ . Nun brauche ich noch eine Transformation T, die meine Punkte der Kugel auf die Punkte im Ellispoid abbildet (und ich denke hier liegt der Fehler). Ich verwende: $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und erhalte dann: $\begin{eqnarray} vol\left(E\right) = \int_E \! 1 \, d(x,y,z) = \int_K \! 1\|det(T)\| \, d(x,y,z) = \frac{4}{3} \pi \frac{1}{abc} \end{eqnarray}$ . Die Transformation $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ würde das richtige liefern. Warum stimmt diese? Ich bin sehr dankbar für Eure Hilfe!
07.07.2012, 16:15	nudel_suppe	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich denke, das hat sich erledigt. Wenn ich eine Koordinaten eines Punktes (bsp x) nehme und skaliere mit (bspw. a). Dann wird aus K gerade E, da (x = (a*x)/a).

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