Konvergenzradius mit x^{2n}

07.07.2012, 13:51

Sattelpunkt

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Konvergenzradius mit x^{2n}

Meine Frage:
Ich habe die Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} {- \frac{3^k}{4} \cdot x^{2k}} \end{eqnarray*}$ , für die ich den Konvergenzradius berechnen musste. Mein ergebnis war $\begin{eqnarray*} \rho=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Mein Tutor meinte, dass ich am ende noch die Wurzel ziehen muss. Das hab ich dann auch weiterhin so gehandhabt. Bei der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} {7\mathrm{e}^{-2n} \cdot x^{2n}} \end{eqnarray*}$ hats dann allerdings nichtmehr hingehauen. Es sollte $\begin{eqnarray*} \mathrm{e} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\mathrm{e}} \end{eqnarray*}$ als Ergebnis rauskommen. Kann mir vielleicht jemand sagen, wann genau ich die Wurzel ziehen darf.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass das Wurzelziehen am Ende falsch ist.

07.07.2012, 14:40

shipwater

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Hallo,

du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} {7\mathrm{e}^{-2k} \cdot x^{2k}} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} {7\mathrm{e}^{-2k} \cdot x^{k}} \end{eqnarray*}$ ergäbe sich doch $\begin{eqnarray*} R^*=\frac{1}{\limsup \sqrt[k]{7e^{-2k}}}=e^2 \end{eqnarray*}$
Also kriegst du für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} {7\mathrm{e}^{-2k} \cdot x^{2k}} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} R=\sqrt{e^2}=e \end{eqnarray*}$
Die Wurzel ziehen musst du also immer. Ist ja auch logisch denn wendest du das Wurzelkriterium auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot x^{2k} \end{eqnarray*}$ an dann erhältst du $\begin{eqnarray*} \limsup \sqrt[k]{|a_k \cdot x^{2k}|}=\limsup \sqrt[k]{|a_k|} \cdot x^2 \stackrel{!}{<}1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{\frac{1}{\limsup \sqrt[k]{|a_k|}}} \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

07.07.2012, 15:01

Sattelpunkt

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Danke, dann hat sich das erledigt.

07.07.2012, 15:04

shipwater

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Gern geschehen.

07.07.2012, 18:58

Sattelpunkt

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Geschlossene Darstellung
Hab nochmal n Problem mit nem Quadrat in ner Potenzreihe.
Und zwar soll man für die Funktion $\begin{eqnarray*} f: I \rightarrow \mathrm{R}: x \mapsto \sum \limits_{n=1}^{\infty} {2n \left( - \frac{3}{5} \right)^n \cdot x^{2n-1}} \end{eqnarray*}$ die Potenzreihendarstellung einer Stammfunktion bestimmen.

Als Ergebnis bekam ich dann $\begin{eqnarray*} F(x)= \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\left(-\frac{3}{5} \right)^n \cdot x^{2n}} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist nach der geschlossenen Darstellung der Stammfunktion F gefragt.

Die Ableitung ist in diesem Falle ja $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ . Diese muss ich soweit ich weiß soweit umformen, damit ich eine bekannte Reihe anwenden kann. Leider finde ich keine passende Reihe bzw. Umformung.

Gibts da n gutes Schema, nach dem man vorgehen kann? smile

smile

Lieben Gruß und schonmal Danke für eure Hilfe...

07.07.2012, 19:33

shipwater

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Das ist doch einfach eine geometrische Reihe.

Gruß Shipwater

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07.07.2012, 20:01

Sattelpunkt

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Das Ergebnis sollte $\begin{eqnarray*} F(x)=-1+\frac{5}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$ sein. Vielleicht bin ich auch gerade einfach zu blöd.

07.07.2012, 20:15

shipwater

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$\begin{eqnarray*} F(x)= \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\left(-\frac{3}{5} \right)^n \cdot x^{2n}} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{3}{5} x^2\right)^n \end{eqnarray*}$ ist doch eine geometrische Reihe, die für $\begin{eqnarray*} |x| <\sqrt{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Du hattest oben geschrieben $\begin{eqnarray*} f:I \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber was genau soll $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ denn nun sein?

Gruß Shipwater

07.07.2012, 21:08

Sattelpunkt

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Da steht $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes Intervall, muss aber nicht angegeben werden.

Ich weiß allerdings trotzdem nicht, wie ich auf die $\begin{eqnarray*} -1 + \frac{5}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$ komme.
Es heißt ja $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n}= \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$ .

07.07.2012, 21:10

shipwater

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Ok und konntest du die Aufgabe nun lösen?

Gruß Shipwater

07.07.2012, 21:17

Sattelpunkt

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Nein, leider nicht. Ich werd mal schauen, ob ich im Repetitorium doch noch was finde.

07.07.2012, 21:21

shipwater

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Bemerkung: Deine angegebene Formel gilt nicht für $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ sondern für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$
In diesem Fall startet die Summe aber erst bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ also musst du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} q^n =\frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ verwenden. Du musst nun eben $\begin{eqnarray*} q=-\frac{3}{5}x^2 \end{eqnarray*}$ setzen und dann vereinfachen.

Gruß Shipwater

07.07.2012, 21:48

Sattelpunkt

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Super. In dem Fall war das Problem, dass meine Reihe bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ begonnen hat. Hab jetzt die Reihe umgeformt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^n \cdot q} = q \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^n} = q \cdot \frac{1}{1-q} = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ und bin dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$ gekommen, was wohl auch richtig ist, zumindest für die ersten paar Werte.

07.07.2012, 21:50

Sattelpunkt

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Danke für die Hilfe. Wenns auch n bisschen länger gedauert hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.07.2012, 21:57

shipwater

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Zitat:

Original von Sattelpunkt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^n \cdot q} = q \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^n} = q \cdot \frac{1}{1-q} = \frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das kann ich nicht nachvollziehen. Ich denke die erste Reihe sollte eigentlich bei n=1 starten und die restlichen Reihen dafür bei n=0.

Zitat:

Original von Sattelpunkt
und bin dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$ gekommen, was wohl auch richtig ist, zumindest für die ersten paar Werte.

Ja denn es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{-3x^2}{5+3x^2}=\frac{-5-3x^2+5}{5+3x^2}=\frac{-5-3x^2}{5+3x^2}+\frac{5}{5+3x^2}=-1+\frac{5}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$
Und konntest du nun auch ein geeignetes $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ angeben? smile

smile

Gruß Shipwater

07.07.2012, 22:19

Sattelpunkt

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Oh ja. Es müsste wohl eher so heißen: $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sum\limits_{n=0}^{\infty} {q^n} = \frac{1}{1-q} \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} {q^{n-1}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac{q^n}{q}}=\frac{1}{q} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} {q^n}=\frac{1}{1-q}\, | \cdot q \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} {q^n}=\frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist im der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ !?

07.07.2012, 22:24

shipwater

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Oder auch: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^n-1=\frac{1}{1-q}-1=\frac{q}{1-q} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$
So viele Wege nach Rom Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Shipwater

07.07.2012, 22:32

Sattelpunkt

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Mit $\begin{eqnarray*} \dots = \frac{1}{1-q}-1 \end{eqnarray*}$ erscheint mir dann auch die angegebene Lösung von $\begin{eqnarray*} -1+\frac{5}{5+3x^2} \end{eqnarray*}$ umformtechnisch auch nicht mehr so kompliziert Hammer

Hammer

07.07.2012, 22:35

shipwater

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Ja das stimmt smile

smile

(du meinst aber hoffentlich -1 statt +1)

Gruß Shipwater

07.07.2012, 22:37

Sattelpunkt

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Ja. Schon verbessert.

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