Gleichheit zweier Funktionen

07.07.2012, 13:57

Gast11022013

Gleichheit zweier Funktionen

Meine Frage:
Wenn ich zwei Funktionen auf Gleichheit überprüfen soll:

Stimmt es, dass man dann so vorgehen kann:

1.) Bilde die Ableitungen und überprüfe die Ableitungen auf Identität.

2.) Überprüfe, ob die Funktionen in einem Punkt übereinstimmen.

Aus 1.) und 2.) folgt die Identität der Funktionen.

Meine Ideen:

Edit: Achso, meine eigenen Überlegungen.

Ich habe mir da mal folgende Funktionen als Beispiele ausgedacht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3+2 \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitungen stimmen überein, aber die Funktionen stimmen in keinem Punkt überein. Also kann es sich nicht um identische Funktionen handeln.

Oder mit anderen Worten:

Daraus, daß zwei Funktionen die gleichen Ableitungen haben, folgt noch nicht ihre Identität, denn die Funktionen können ja mit einer Konstanten verschoben sein. Wenn sie aber zusätzlich noch in einem (beliebig gewählten) Punkt aus dem Definitionsbereich übereinstimmen, so müssen die Funktionen ja identisch sein.

Das wären meine Gedanken dazu.

07.07.2012, 14:04

IfindU

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Das stimmt. Folgt sofort aus dem Hauptsatz der Analysis.

Wenn wir die Funktionen f und g haben, stetig differenzierbar und f'(x) = g'(x) für alle x.

Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \int_0^x f'(y) ~dy = \int_0^x g'(y) ~dy \end{eqnarray*}$ für alle x. Und den letzten Schritt überlass ich dir Augenzwinkern

Edit: Statt 0 als untere Grenze sollte man einen beliebigen Punkt x_0 nehmen, sonst bekommt man eine schwächere Aussage (außerdem das technische Problem, dass 0 nicht im Definitionsbereich liegen muss).

07.07.2012, 14:18

Gast11022013

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Achso!

Es gelte also für alle x die Identität der Ableitungen.

Nun wähle man sich ein beliebiges x aus diesen x aus und bilde die von dir genannten Integrale.

Meinst Du Folgendes:

Wenn man die Integrale nun ableitet nach den obere Grenzen (also nach x), so ergibt sich ja nach dem Hauptsatz:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ und damit ist für ein beliebig ausgewähltes x die Identität der Funktionen gezeigt. Für jedes andere x geht das ebenso.

07.07.2012, 14:20

IfindU

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Meine Idee war die Integrale auszuwerten. Das Integral über die Ableitung ist ja ziemlich leicht.

07.07.2012, 14:24

Gast11022013

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Achso...

Dann hat man $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x_0)=g(x)-g(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Und das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x), f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2012, 14:25

IfindU

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Wir können es ja ein bisschen umstellen:
$\begin{eqnarray*} f(x) - g(x) = f(x_0) - g(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir annehmen, dass die Funktionen an der Stelle x_0 gleich sind, so folgt sofort $\begin{eqnarray*} f(x) -g(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle x.

07.07.2012, 14:28

Gast11022013

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Und weil die untere Grenze $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig ist, reicht es also, wenn man die Gleichheit der Funktionen für irgendein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zeigt?

07.07.2012, 14:29

IfindU

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RE: Gleichheit zweier Funktionen
Genau, in dem Ansatz oben hätten sie noch in der 0 übereinstimmen müssen. Jetzt reicht irgendein x aus.

Das ist mehr oder weniger auch die Aussage, dass Stammfunktionen bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt sind.

07.07.2012, 15:18

Gast11022013

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RE: Gleichheit zweier Funktionen

Zitat:

Original von IfindU
Genau, in dem Ansatz oben hätten sie noch in der 0 übereinstimmen müssen. Jetzt reicht irgendein x aus.

Danke! Jetzt habe ich den Beweis verstanden.

Zitat:

Original von IfindU
Das ist mehr oder weniger auch die Aussage, dass Stammfunktionen bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt sind.

Dann war meine erste Idee, die ich in meinen ersten Beitrag reineditiert habe, ja gar nicht sooo verkehrt.

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